Melhor resposta
Vamos começar com a regra do produto.
Exemplo: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Como cheguei lá? A regra do produto é: Quando y = uv, sendo uv duas funções diferentes multiplicadas juntas – neste caso seno e cosseno dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)
Então, no exemplo acima, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 ou (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
A regra inversa do produto é justa o oposto, como a integração é o reverso / oposto da diferenciação.
Portanto, de dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Vamos integrar tudo! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx
Diferenciar y torna-se dy / dx, portanto, integrá-lo volta para y. Portanto, y = ∫u dv + ∫v du
Uma vez que sabemos que y = uv (veja acima) uv = ∫u dv + ∫v du
Então, apenas reorganizamos o equação como tal:
∫u dv = uv – ∫v du Done.
Eu também não entendo totalmente, mas é o melhor que posso para explicar como derivar.
Resposta
Aqui está uma maneira de pensar sobre isso: ∫udv se integra ao longo do eixo v. Ele calcula a área sob a curva u em direção a v.
∫vdu se integra ao longo do eixo u. Ele calcula a área à esquerda da curva v, em direção a u.
Junte os dois e você obterá um quadrado: toda a área entre os eixos uev. A área total é o produto dos dois: uv. Resumindo, você obtém:
∫v du + ∫u dv = uv
A partir daí, você pode facilmente derivar a fórmula. Também é fácil de visualizar.
Fonte: Sigma MathNet
Esta é uma simplificação exagerada da ideia, que é mais geral do que isso, mas esta é uma explicação comum (e às vezes tratada como uma prova informal). Para um pouco mais de discussão, consulte Explique esta prova sem palavras de integração por partes para mim .