Melhor resposta
Tecnicamente, não como log \, n = log\_ {10} \, n, não log\_2 \ , n.
Mas se a = b, então log \, a = log \, b, certo? Portanto, se n = n (o que obviamente acontece), então log\_2 \, n = log\_2 \, n. Agora, como log\_2 \, 2 = 1, também podemos escrever log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, não podemos?
E como log \, a ^ b = b \ cdot log \, a, vemos que log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Essa é uma propriedade bem conhecida dos logaritmos.
Agora, a última etapa precisa que você perceba que o logaritmo é uma função monotônica. Isso é crucial; significa que, se os resultados forem iguais, os argumentos também serão os mesmos. Não funcionaria para, por exemplo seio… Mas para funções monotônicas, se f (x) = f (y) então x = y. Portanto, podemos finalmente afirmar que 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
Resposta
Usando a propriedade de logs onde \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, podemos provar a afirmação, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
A prova:
Vamos definir a declaração original igual a y. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Agora, podemos aplicar o log base 2 a cada lado. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Usando o propriedade de log declarada anteriormente, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
Log de base b de b sempre será igual a 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Portanto, y = n