Melhor resposta
Como você prova essa identidade depende muito de como você pense em seno e cosseno.
Se você pensar em seno e cosseno como proporções dos lados de um triângulo retângulo (como no ensino médio, onde eles ensinam seno como oposto sobre hipotenusa), obterá um triângulo retângulo com os lados a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (o último pelo triângulo pitagórico), e \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Se você pensar em seno e cosseno como as coordenadas de um ponto no círculo unitário (parametrizado pelo comprimento de arco do círculo), então, pela definição do círculo unitário, cada ponto satisfaz x ^ 2 + y ^ 2 = 1, então o ponto (\ sin \ theta, \ cos \ theta) também, então \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Seno e cosseno também podem ser definidos como soluções independentes para a equação diferencial f = -f, com \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Como existem apenas duas soluções independentes para a equação , e é fácil ver que f ^ {(n)} é uma solução, deve ser o caso que \ sin x, \ sin x, \ sin x não podem ser soluções independentes. Na verdade, \ sin x = – \ sin x, então \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, então \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Disto podemos diferenciar implicitamente \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x para obter 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Portanto, o valor de \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x é uma constante, e avaliado em 0 obtemos \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, então \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Seno e cosseno também podem ser definidos pela série de potências \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Uma expansão cuidadosa dessas séries de potências na expressão \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x mostrará todos os termos que envolvem x ^ n cancelar, deixando apenas o termo constante 1 como o valor.
Resposta
Para pensar sobre isso, temos que considerar quais são as razões trigonométricas. Sabemos que a relação seno é igual ao ângulo oposto a um lado sobre a hipotenusa de um ângulo, ou o / h. Também sabemos que a razão do cosseno é igual ao lado adjacente a um ângulo sobre a hipotenusa, ou a / h. A seguir, vemos que ambas as razões são quadradas, o que significa que a identidade trigonométrica, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, é equivalente a (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, que é igual a o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Como temos um denominador comum, podemos combinar essas duas equações para obter, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Podemos então olhar para isso e perceber que estamos definindo todos os lados de um triângulo. Sabemos pelo teorema de Pitágoras que, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Podemos ver que, como cada um desses valores de o, a e h são todos os lados diferentes de um triângulo, eles são iguais a a, b e c. O valor de c no teorema de Pitágoras é a hipotenusa de um triângulo retângulo, então sabemos que h = c. Isso significa que a e b são iguais a o e a. Não importa qual letra é atribuída, pois os resultados não mudarão. Podemos então ver que através do teorema de Pitágoras, sabemos que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, levando a o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Isso significa que podemos substituir o numerador de nossa equação anterior, tornando-o equivalente a (h ^ 2) / (h ^ 2). Finalmente, sabemos que qualquer variável dividida por si mesma é igual a 1, portanto esta equação é igual a 1. Se revertermos para a equação original, provamos que sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.