Melhor resposta
Para provar isso, use a fórmula de subtração de seno.
isto é, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Aqui a = π eb = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Portanto, comprovado
Resposta
Prova 1:
A maneira mais simples de provar
cos (π / 2 – x) = sin x
é colocar A = π / 2, B = x na fórmula trigonométrica
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
e obtenha
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Substituindo cos π / 2 = 0 e sin π / 2 = 1 em (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (Provado)
Prova 2:
Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AB a base e AC a hipotenusa. Se denotarmos o ângulo C por x, o ângulo base A = (π / 2 – x) de modo que A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π ou 180 °.
Agora, para o ângulo base A, BC é a perpendicular.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / hipotenusa = AB / AC ………… .. (3 )
Para o ângulo C, AB é a perpendicular e, portanto,
sen C = sen x = perpendicular / hipotenusa = AB / AC ……………. (4)
Equacionando (3) e (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (Provado)
Prova 3:
Use a fórmula de Euler
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
que define o símbolo eⁱᶿ para qualquer valor real de θ. Aqui i = √-1.
∴ Podemos colocar θ = (π / 2 – x) na fórmula e escrever
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Ou, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Agora e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i e e ^ (- ix) = cos x – i senx
∴i. (Cos x – i sen x) = cos (π / 2 – x) + i sen (π / 2 – x)
Ou i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Uma vez que i² = -1]
Equacionando as partes real e imaginária,
cos (π / 2 – x) = sin x (Provado)
e cos x = sin (π / 2 – x)
Observações finais:
Dos três métodos apresentados aqui para provar a afirmação dada, o método preferido deve ser a Prova 1. Isso ocorre porque é simples, direto e rápido. Pode ser feito mentalmente por um aluno médio em cerca de 30 segundos. Na Prova 2, há margem para confusão sobre qual é a base, qual é a perpendicular certa a ser tomada. Além disso, é preciso gastar um tempo extra para desenhar um triângulo, marcar os lados, os ângulos, etc. A prova 3 está bem; mas poucos se sentem confortáveis ou bons em trabalhar com funções complexas. O método envolve mais álgebra do que os outros métodos; mas dá um bônus, a saber: prova a fórmula cos x = sin (π / 2 – x).