Melhor resposta
A expressão no post a questão não está totalmente correta.
O teorema binomial
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
vale para todos os números complexos x e y e inteiros não negativos n .
Seja x = 1 ey = -1. Em seguida, no lado direito, você terá suas diferenças alternadas e somas de combinações desejadas (o que você chamou de escolha s). No lado esquerdo, você tem 0 ^ n, que aparentemente está assumindo ser 0. No entanto, o teorema binomial, conforme declarado acima, se aplica a todos os inteiros não negativos n , que inclui 0, caso em que o lado esquerdo é 0 ^ 0 = 1 — um caso que você não permitiu.
Caso você não acredite em mim, tente este exercício trivial: Escreva as primeiras linhas do triângulo de Pascal. A fórmula “escolher” na pergunta postada é equivalente a escolher qualquer linha e, começando no elemento mais à esquerda (que é sempre 1, não importa qual linha você escolha), subtraia o próximo elemento à direita e continue alternando adição e subtração todos os elementos dessa linha. Observe que com a linha contendo 1 1 e a linha contendo 1 2 1 e a linha contendo 1 3 3 1 todas resultam em 0 com este processo. O que acontece, porém, na linha superior que contém apenas 1? Começamos com aquele 1 e nos preparamos para subtrair o próximo elemento, mas não há próximo elemento, então já terminamos com um resultado de 1, não 0. Não há necessidade de excluir a linha superior do conceito de que as diferenças alternadas e somas resulta em 0 ^ n para todas as linhas.
Se você é um daqueles que tem um problema em relação a 0 ^ 0 = 1, você realmente precisa superar esse bloqueio, pelo menos no contexto de expoentes inteiros. Se você considerar 0 ^ 0 como indefinido, também jogue fora o teorema binomial e a prova acima, porque você não poderia usar o teorema binomial para avaliar (0 + y) ^ {n} e (x + 0) ^ { n}, independentemente do valor de n , porque o último termo na expansão binomial para o primeiro poder e o primeiro termo na expansão binomial para o último poder ambos envolvem 0 ^ 0, então você teria que chamar essa soma de indefinida e adicionar a exclusão totalmente desnecessária e boba de que o teorema binomial não se aplica a x = 0 e para y = 0. Você também estaria violando a regra do produto vazio, que indica que o produto de nenhum fator deve ser o elemento de identidade multiplicativo , 1. A relação 0! = 1 também é importante para o teorema binomial, bem como para muitos outros lugares – mas com 0! um está multiplicando juntos sem fatores começando em 1, então é um produto vazio e, em última análise, é a regra do produto vazio que nos diz que 0! = 1. Essa mesma regra de produto vazio nos diz que x ^ 0 = 1 para todos os números complexos x , e o valor de x não se preocupa com a regra do produto vazio, então sim, x = 0 se aplica tão bem quanto qualquer outro valor de x – nenhum caso de exceção justificado de qualquer maneira.
Existem inúmeras outras razões para considerar 0 ^ 0 = 1, pelo menos no contexto de expoentes inteiros: a definição formulaica de polinômios e séries de potência usando notação ∑ e a manipulação de tais polinômios e séries de potência, vários problemas combinatórios e outros. Não há nenhum fundamento lógico para considerar 0 ^ 0 ter qualquer valor diferente de 1 ou considerá-lo como indefinido, pelo menos no contexto de expoentes inteiros.
Alguns de vocês podem estar um pouco angustiados eu escrevendo assim porque viola tudo o que lhe foi ensinado – talvez tanto sofrimento que você tem dificuldade em contemplar a possível validade do que escrevi, e está prestes a escrever algum comentário de resposta para me dizer onde estou errado. Para evitar que você pareça bobo com comentários errôneos, prosseguirei e abordarei o que espero que aconteça:
- “Meu livro e meu professor disseram que 0 ^ 0 é indefinido e eles poderiam não esteja errado. ” Eu odeio ter que dizer a você, e fazer sua bolha estourar em relação a seus professores e livros didáticos, mas há muitos tópicos nos livros didáticos de matemática do ensino médio (e outras matérias) que são simplificados demais ao ponto de serem incorretos. Meus comentários aqui não pretendem ser uma crítica aos professores de matemática do ensino médio – eles têm uma tarefa desafiadora e a maioria realmente deseja fazer um ótimo trabalho e ajudar o progresso dos alunos.A maioria dos professores de matemática do ensino médio não se formou em matemática em seus estudos universitários – a maioria se formou em educação com especialização em matemática. Eles aprendem sobre como diferentes alunos pensam, como explicar diferentes pontos de várias maneiras, como encontrar e diagnosticar problemas que os alunos estão tendo com o material e outras coisas muito valiosas não diretamente relacionadas à matemática. Eles passam o tempo em salas de aula simuladas, bem como em salas de aula reais sob o olhar do professor real, a fim de obter prática. Eles recebem muitas análises aprofundadas da matemática que esperariam ensinar, o que significa que no nível do ensino médio. Eles farão alguns cursos de matemática de nível universitário em seu programa, mas nem de longe tantos ou tão avançados quanto um curso de matemática faria. Graduados em matemática não fazem nada disso, mas em seus cursos mais avançados ficam mais expostos ao que os matemáticos profissionais reais e vivos fazem, e a maioria dos professores de matemática não tem essa exposição – eles não percebem como os matemáticos realmente definem coisas como números naturais e números inteiros, exposição limitada a matemáticos usando radianos em vez de graus para medidas angulares (e a falta de símbolo de unidade para ângulos implica em radianos, não em graus), não fazendo com que mergulhe no que os matemáticos profissionais consideram a ordem apropriada de operações (e, não , não é PEMDAS, BODMAS, …), etc. Seus professores de matemática ensinam o que o livro diz para ensinar e eles não sabem que estão ensinando coisas que são contrárias ao que os matemáticos profissionais fazem.
- Leis de divisão dos expoentes: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, que é indefinido, então 0 ^ 0 deve ser indefinido, pois eles são iguais. Uma etapa inválida foi realizada no segundo =. Uma das leis de divisão dos expoentes é b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, mas tem algumas restrições para ser usada. Uma delas é que a aplicação da lei não deve, em nenhum momento, gerar uma expressão que envolva um recíproco de 0 ou uma divisão por 0. Portanto, o uso desta lei é proibido quando b = 0, porque gera um absurdo – e esse é o absurdo que você deseja usar para “provar” seu ponto. Desculpe, mas para provar um ponto, você não pode fazer uso de algo que é tão absurdo que é inválido. Etapas inválidas constituem uma prova de falha. Além disso, escrever coisas como a = b = c onde c é indefinido é inválido— a e b pode ou não ser válido. As equações não devem ser utilizadas quando pelo menos um dos lados for indefinido ou inválido. Você está proibido de concluir até mesmo que 1/0 = 1/0, porque ambos os lados são indefinidos, então você não pode dizer que eles são iguais – como você poderia saber que duas coisas são iguais quando você nem mesmo tem ideia de quais são essas duas coisas significa (e você não pode ter nenhuma ideia porque eles não têm definição).
- “0 ^ 0 é uma forma indeterminada, então não pode ter um valor – meu livro de cálculo diz isso.” O conceito de formas indeterminadas é muito real e útil, desde que você o mantenha no contexto pretendido. As formas indeterminadas aplicam-se apenas no contexto de limites – você não pode olhar para essa forma e determinar se um limite existe e, se existir, qual é o valor limite. Escrever 0 ^ 0 se refere a qual é o valor de f (x, y) = x ^ y em (x, y) = (0, 0) – não qual é o limite quando x e y se aproximam de 0 independentemente. Pode haver um limite, mas a função não está definida lá; uma função pode ser definida lá, mas o limite não existe. Os dois conceitos não têm nada a ver um com o outro, exceto quando um ou ambos (definição de valor e valor limite) falham, a função não é contínua nesse ponto. Dizer que um limite está assumindo a forma 0 ^ 0 significa que você não pode dizer apenas a partir dessa informação se o limite existe e qual é seu valor. Esse fato não tem nada a ver se 0 ^ 0 = 1 ou é indefinido. Dizer 0 ^ 0 = 1 não significa que um limite assumindo a forma 0 ^ 0 deve ter valor 1.
- 0 ^ y = 0 para todos positivos y ex ^ 0 = 1 para todos os x diferentes de zero. (Muitas pessoas que usam este argumento esquecem que y não deve ser negativo e tratar os dois casos como simétricos.) Se você substituir 0 por ambos x e y , em um caso 0 ^ 0 = 0 e no outro caso 0 ^ 0 = 1 – uma contradição , por isso não pode ser definido. Bem vamos ver. Existem dois números cujo quadrado é 9: +3 e −3; assim, a raiz quadrada de 9 é +3, mas a raiz quadrada de 9 é −3. Oh, temos uma contradição, então não deve haver raiz quadrada de 9 – ela deve ser indefinida.Não, +3 é uma resposta mais útil do que −3, então definimos √9 = 3. O fato de que x ^ 0 = 1 não apenas para todos os reais diferentes de zero x mas também para todos os complexos diferentes de zero x e até mesmo todos os quatérnios diferentes de zero x ; por outro lado, 0 ^ y funciona de maneira direta apenas para real positivo x – não real negativo, não imaginário, então não faz mais sentido vai com a definição que tem apenas um buraco em vez de considerar seriamente uma opção que tem um número incontável de buracos ? O resultado de 1 é muito, muito mais útil do que 0 para 0 ^ 0. Se estamos dispostos a chamar a raiz quadrada de 9 de +3 quando há muito menos razão para preferência, quanto mais chamar de 0 ^ 0 = 1, quando há uma razão muito forte para preferência. A regra do produto vazio exige a escolha de 1 e não 0. Muitas aplicações práticas consideram 1 um resultado extremamente útil, enquanto 0 ou indefinido seriam resultados problemáticos. Nenhuma aplicação significativa tem 0 sendo um resultado útil, então escolhemos 1.
Resposta
\ text {De acordo com o teorema binomial}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Substituindo a = 1 e x por – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implica 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}