Melhor resposta
Eu usaria a identidade \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, ou
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Então \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Agora use a identidade \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, ou
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Assim, obtemos
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Resposta
Este exercício sugere o uso de fórmulas de meio ângulo para produzir novas expressões de grau inferior. É difícil ver isso sem contexto, portanto, observe que esses problemas sempre podem ser resolvidos com fórmulas de meio ângulo.
Assim, podemos dividir a expressão original no produto de dois (sin x) ^ 2 termos e continuar a usar a segunda fórmula na figura que eu atendi.
Multiplique e expanda para obter
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Oh não! Parece que ainda não terminamos! Bem, não se preocupe, dê uma olhada na primeira fórmula na minha foto anexada e substitua o termo ao quadrado pela expressão. Observe que começamos com 2x e devemos dobrá-lo para 4x em vez de exatamente o que está escrito na fórmula. Portanto, substitua e produza:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Em seguida, pegue um denominador comum e mova-o com 1 / 4, resultando em 1/8 na parte externa.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Combine os termos semelhantes para nossa resposta final
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Excelente pergunta!