Melhor resposta
Como faço para resolver tan theta = -2?
Bem, para isso, começamos usando a função arctan , que é o inverso da função tangente e encontra um valor \ theta tal que \ tan (\ theta) = -2.
Podemos calcular o valor, mas este é um complexo procedimento envolvendo números imaginários . Isso parece um monte de problemas, então usar um conjunto de tabelas seria mais fácil, mesmo que talvez um pouco menos preciso. Embora eu tenha um conjunto antigo no loft dos meus pais, isso não é útil para mim no momento, então vamos pesquisar na internet por algumas mesas. Espere, se eu tenho acesso à internet, por que não ver se a internet pode fazer o cálculo para mim?
Bem, essas aproximações são provavelmente mais precisas do que precisamos, mas vamos ficar com elas por enquanto.
Talvez você não goste da ideia de ângulos negativos? Não se preocupe, é fácil convertê-los em ângulos positivos adicionando 2π radianos / 360 °.
Portanto, temos 5,17603659 radianos / 296,5650512 °
Mas, não terminamos !
A função arctan retorna apenas ângulos no intervalo exclusivo (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), ou seja (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Então, existem outros ângulos cujo valor de tangente é -2?
Primeiro, o função tangente dá um valor negativo quando o ângulo está no segundo e quarto quadrantes, ou seja, quando os ângulos estão nas faixas exclusivas (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) e (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Já temos a solução no quarto quadrante, então qual é a solução no segundo quadrante? É a leste, basta pegar π radianos / 180 ° da solução no quarto quadrante.
Por quê? Bem, da fórmula do ângulo composto para a função tangente , temos:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (\ pi) = 0
Isso nos dá nossa segunda solução, 2.03444393 radianos / 116.5650512 °
Em segundo lugar, a função tangente é periódica, com um período de 2π radianos / 360 °; isso significa que adicionar qualquer múltiplo de 2π radianos / 360 ° ao nosso ângulo retornará o mesmo valor de tangente .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – como \ tan (2 \ pi) = 0
Assim, usando k para representar qualquer número inteiro, nosso conjunto de solução completo é:
(2,03444393 + k \ pi) \ radianos ou (116,5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Resposta
Lembre-se de que sec (theta) = 1 / (cos (theta). Então você tem
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, que é uma equação quadrática em cos (theta). As duas raízes desta equação são (3 + – sqrt (5)) / 2 que são, na verdade, 1 + – phi, onde phi é a famosa “Razão Áurea” e são as raízes do quadrático x ^ 2 – x – 1.
Visto que phi é uma raiz, dividir esta equação por phi ^ 2 mostra que a outra raiz é -1 / phi. E como phi + 1 = phi ^ 2, temos que as raízes de sua equação original são phi ^ 2 e 1 / phi ^ 2. Como o cosseno deve ser 1, devemos usar a raiz menor .
Agora considere a antiga série de Fibonacci 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 na qual o (n + 1) ésimo termo é a soma dos enésimos e (n -1) ésimos termos. Acontece que phi e sua raiz conjugada estão intimamente relacionadas a essa série. A maneira como isso se aplica aqui é a seguinte:
Se o enésimo termo de Fibonacci for F (n), então phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (A prova é uma indução em n, usando a definição de Fibonacci F (n + 1) = F (n) + F (n-1) na última etapa.) Você deseja mostrar então que phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. O 6º e o 7º Fs são 5 e 8. Então você avaliou
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Se você multiplicar isso e racionalizar o segundo termo, obterá 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED