Melhor resposta
Existem duas maneiras de saber se uma Matriz (e, portanto, o sistema de equações que a matriz representa ) tem uma solução única ou não.
a. Método de Cramer.
Converta o sistema de equação na forma de matriz AX = B, onde A = matriz de coeficientes, X = matriz de variáveis e B = matriz de resultados.
Nomeie a matriz de coeficientes como D. Para uma matriz 3 x 3, substitua a 1ª, 2ª e a 3ª colunas da matriz D pela matriz da coluna de resultados para obter as matrizes Dx, Dy e Dz.
- Se D não for igual a 0, e se pelo menos um de Dx, Dy e Dz não for igual a 0, então o sistema de equações é Consistente e tem uma solução Única.
- Se D = 0 e se Dx, Dy e Dz = 0, mas se pelo menos um dos constituintes da matriz de coeficientes (aij) ou pelo menos um dos 2 x 2 menores não for igual a 0, então o sistema de equações é consistente e tem Infinitamente muitas soluções.
- Se D = 0 e pelo menos um de Dx, Dy e Dz não for zero, o sistema de equações é inconsistente (Sem solução).
Assim, o sistema de equações produz uma solução Única apenas quando o valor do Determinante não é igual a zero.
b. Método de classificação
Escreva o sistema de equações no formato de matriz AX = B onde A = Matriz de coeficientes, X = matriz de variáveis e B = matriz de resultados.
Descubra a classificação da matriz A.
Escreva a matriz aumentada [A, B]
Descubra a classificação da matriz aumentada [A, B]
- 1. Se a classificação da matriz A não for igual à classificação da matriz aumentada, o sistema de equações é inconsistente e não tem solução.
- Se a classificação de ambas as matrizes for igual e igual ao número de variáveis desconhecidas no sistema e se a matriz A for não singular, então o sistema de equações é Consistente e tem uma solução Única.
- Se a classificação de ambas as matrizes for igual, mas se a classificação for menor que o número de incógnitas, então o sistema de equações é consistente e tem infinitas soluções. Portanto, há apenas três possibilidades – Inconsistente e Sem solução, Consistente com a solução Única, Consistente com Infinitamente muitas soluções.
Assim, o sistema funciona uma solução única apenas quando a classificação da matriz de coeficientes = Classificação da matriz aumentada = Número de incógnitas.
Resposta
A teoria diz que Ax = b tem uma solução única se \ det (A) \ neq0 e caso contrário, não tem solução ou tem uma quantidade infinita. A matriz é chamada de singular nesse caso
A prática, entretanto, diz a você que isso quase nunca acontece. Então, todo conjunto de equações pode ser resolvido? Sim e não. Se a matriz for quase singular, você pode obter uma solução, mas não será significativa. A razão é que pequenas flutuações no lado direito podem causar enormes flutuações (em várias ordens de magnitude) na solução. O sistema é denominado mal condicionado nesse caso. Isso é uma coisa ruim, porque no curso dos cálculos você pode perder dígitos significativos devido à subtração de quantidades quase iguais.
Como você pode saber? O número da condição \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | é a medida teórica. O melhor valor é 1, quanto maior pior. Mas não é tão fácil de calcular. Uma maneira prática de fazer isso é pegar uma pequena perturbação aleatória do lado direito e comparar as duas soluções. Se elas diferirem significativamente, você tem um sistema mal condicionado.