Melhor resposta
Sim, é o Problema Monty Hall disfarçado. “Trocar” nesse problema é apenas uma forma de enfatizar que uma probabilidade é diferente da outra. Nesse problema, você prefere que a porta que o host poderia ter aberto, mas não abriu. Aqui, você preferiria ser o prisioneiro que o diretor poderia ter nomeado, mas não o fez. Mesma coisa.
A está errado. Ele pensa que só aprendeu informações sobre B, e nada sobre A ou C. Mas ele aprendeu algo sobre C: o diretor poderia tê-lo nomeado, mas não t. Por causa do cara ou coroa, 50\% das vezes em que A teria sido perdoado, o diretor teria nomeado C. Mas ele nomearia B 100\% das vezes, onde C teria sido perdoado. Essa proporção – 50\% a 100\% – é o que torna agora duas vezes mais provável que C seja perdoado.
Histórico à parte: o problema que você citou foi publicado originalmente na edição de outubro (eu acho) de 1959 da Scientific American por Martin Gardner. Na mesma questão, ele se desculpou por obter a resposta errada para esta pergunta:
- Sr. Smith tem dois filhos. Pelo menos um deles é um menino. Qual é a probabilidade de as duas crianças serem meninos?
Ele havia dito originalmente que a resposta era 1/3. Mas a questão apresentada é ambígua; depende de como você aprendeu que pelo menos uma criança era menino.
Se fosse porque você perguntou “É pelo menos um a menino? ”, então 1/3 está correto. Mas se foi apenas um fato aleatório que você aprendeu, o que significa que você também poderia ter aprendido que “pelo menos uma é uma menina”, a resposta é 1/2.
E, de fato, o Problema das Duas Crianças é apenas uma variação do Problema dos Três Prisioneiros com quatro prisioneiros em vez de três, ou o Problema do Monty Hall com quatro portas. Gardner apresentou os Três Prisioneiros a fim de esclarecer como esses problemas funcionam e incluiu a parte sobre o cara ou coroa especificamente para mostrar como é o processo pelo qual você obteve as informações, e não apenas as informações, que determina a resposta.
Resposta
O problema dos três prisioneiros pode ser compreendido mais facilmente se nos limitarmos às probabilidades condicionais em vez de às probabilidades posteriores.
Portanto, três prisioneiros A, B, C são no corredor da morte e um deles foi perdoado com base em um jogo de azar. O prisioneiro A pede ao diretor que revele pelo menos o nome de um dos outros prisioneiros, que não foi perdoado.
Ao fazer esta pergunta, A criou dois grupos.
- Grupo I – Envolvendo A sozinho.
- Grupo II – Envolvendo B e C.
Correspondendo a esses dois grupos, existem dois eventos:
- Alguém do Grupo I é perdoado. (somente A).
- Alguém do Grupo II é perdoado (B ou C).
Já que ambos esses eventos são equiprováveis, as probabilidades de ambos os eventos são \ frac {1} {2}. Dentro do segundo grupo, as probailidades de B ou C serem escolhidos são novamente \ frac {1} {2}.
O diretor agora nomeia B como o prisioneiro que não foi perdoado.
Já que o diretor não disse nada sobre o prisioneiro C, isso significa que a probabilidade do segundo evento (alguém ser perdoado do grupo envolvendo B e C) ainda é a mesma – \ frac {1} {2}.
Mas como B foi eliminado, isso significa que a probabilidade de C ser perdoado do Grupo II aumentou agora de \ frac {1} {2} para 1 !!! Sua chance de obter perdão dobrou !!!
Por outro lado, pelo mesmo raciocínio, uma vez que o diretor não disse nada sobre o prisioneiro A, a probabilidade do primeiro evento (alguém sendo perdoado de o primeiro grupo) ainda é o mesmo – \ frac {1} {2}.
Portanto, a pergunta do prisioneiro A não dá a A nenhuma informação nova sobre seu destino. Por outro lado, o prisioneiro C (a quem A deu esta informação), agora sabe que suas chances de obter perdão dobraram.
Isso é tudo que você precisa saber para entender a essência dos Três Prisioneiros Problema. Se, no entanto, você deseja verificar sua intuição usando a fórmula de Bayes. Você pode fazer isso conforme mostrado abaixo:
Formulação Bayesiana do Problema dos Três Prisioneiros
Sejam A, B e C os eventos correspondentes aos prisioneiros A, B e C sendo libertados, respectivamente.E seja b o evento em que o diretor diz a A que o prisioneiro B deve ser executado, então, usando o teorema de Bayes, a probabilidade posterior de A ser perdoado é:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
A probabilidade de C ser perdoado, por outro lado, é:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Assim, a probabilidade posterior de A ser perdoado permanece a mesma que a probabilidade a priori (\ frac {1} {3}), enquanto a de C ser perdoado é dobrada.
Você pode ver o efeito das probabilidades condicionais nas probabilidades posteriores no termo P (b | A) (\ frac {1} {2}) e P (C | b) (1).