Melhor resposta
Aqui está como eu abordaria chegando a uma solução aproximada:
O valor de x deve estar no intervalo [-1,1] como fora desse intervalo x ^ 2> 1 que está fora do intervalo de \ sin {x}. Ele pode ser adicionalmente restrito ao intervalo [0,1] como quando -1 \ le x , \ sin {x} 0. Dentro do intervalo [0,1] existe uma solução trivial para x = 0.
Para x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } enquanto x ^ 2 \ sin {x}, deve existir pelo menos uma solução no intervalo (0,1]. Além disso, neste intervalo \ sin {x} tem uma segunda derivada negativa, enquanto x ^ 2 tem uma segunda derivada positiva, então há no máximo uma solução no intervalo (0,1]. Uma vez que a curva de x ^ 2 ultrapassa a de \ sin {x}, ela não pode cruzar novamente.
Portanto, há exatamente uma solução em (0,1]. Para estimar essa solução, use os dois primeiros termos da série de Taylor para a função seno para obter x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Isso se reduz a x ^ 2 + 6x-6 = 0 ou x = \ sqrt {15} -3 como a solução aproximada. Para seis casas decimais, \ sqrt {15} -3 \ aproximadamente 0,872983.
Por comparação, uma aproximação numérica fornece a solução para seis casas decimais como x = 0,876726. Portanto, nossa aproximação usando apenas dois termos da série de Taylor foi bem próxima, mas não perfeita.
Resposta
Para uma pergunta como essa, normalmente é uma boa ideia representar graficamente as funções para ter uma ideia de como elas se comportam. Se você quiser respostas com números reais.
Podemos adicionar 2x a ambos os lados e dividir por 2 para obter x = 1,3 \ sin (x). A função seno é limitada entre -1 e 1, portanto, só precisamos nos preocupar com os valores de x entre -1,3 e 1,3. O gráfico y = x é apenas uma linha reta. O gráfico y = 1,3 \ sin (x) é inclinado para cima entre -1,3 e 1,3, porque 1,3 é menor que um ângulo reto, e o seno aumenta de – \ pi / 2 para \ pi / 2.
Se você conhece algum cálculo, sabe que a taxa na qual 1,3 \ sin (x) aumenta é dada por 1,3 \ cos (x). Essa taxa de mudança aumenta e depois diminui novamente (o que é chamado de ponto de inflexão). O gráfico de y = 1,3 \ sin (x) é côncavo de -1,3 a 0 e então côncavo de 0 a 1,3. É relativamente fácil perceber que x = 0 é uma solução. Como a inclinação de y = 1,3 \ sin (x) é maior do que a inclinação de y = x naquele ponto, ele cruza de baixo para cima lá. Agora, neste ponto, decidi que deveria calcular o valor de 1,3 \ sin (1,3). Lembre-se, é claro, de que a função seno se aplica a ângulos dados em radianos. É menor que 1,3.
Neste ponto, você pode inferir a natureza da situação. As duas funções se cruzam três vezes de -1,3 a 1,3. Chame a solução positiva c. Por causa da simetria (1,3 \ sin (-c) = – 1,3 \ sin (c) = 2 (-c)) a solução negativa é -c. A concavidade de 1.3 \ sin (x) impede que haja quaisquer outras soluções. Então, tudo o que resta é descobrir o que é c.
O que alguns alunos estranham é que muitas vezes não existe uma “forma fechada” para a solução de uma equação como essa. Podemos dizer que há uma solução entre 0 e 1,3, mas acredito que neste caso não temos uma fórmula para isso em termos de funções familiares. Portanto, se você quiser lidar com isso, terá que decidir o que precisa saber sobre isso.
Se quiser computá-lo com alguma precisão, existem alguns métodos. Existe uma abordagem ingênua que funciona neste caso. Se você pegar um valor de x entre 0 e 1,3, se for menor que a solução, então 1,3 \ sin (x) é maior, e se for maior que a solução, então 1,3 \ sin (x) é menor. Portanto, se você continuar substituindo o valor de x por 1,3 \ sin (x), ele se aproxima da raiz. Então, digamos que eu comece com x = 1,0. Então 1,3 \ sin (1) = 1,9039 … então use isso como o valor de x a seguir. Esse processo converge para a solução, embora não muito rapidamente, porque cada etapa apenas traz o valor um pouco mais perto da solução.
Um segundo método é subdividir o intervalo. Portanto, poderíamos tentar avaliar 1,3 \ sin (1,1) e 1,3 \ sin (1,2) para obter o primeiro decimal da solução. Como 1,3 \ sin (1,1) 1,2, parece que a raiz está entre 1,1 e 1,2. Então, podemos tentar 1,3 \ sin (1,15) para ver se a solução é menor ou maior que 1,15. Este método também não converge tão rapidamente, embora funcione bem em algumas situações onde o primeiro método não.
Existem alguns outros métodos ( Root- algoritmo de descoberta – Wikipedia ) especialmente o método secante e o método de Newton. Eles convergem mais rapidamente.
O método da secante mantém duas aproximações em cada lado, por exemplo 1.1 e 1.2. Então, fingimos que os gráficos são linhas retas para obter uma solução aproximada. O cálculo não é tão simples, embora não seja realmente complicado.
A iteração de Newton faz com que você desenhe uma linha tangente à curva para aproximar onde as duas curvas se cruzam e, em seguida, repita. Se você começar com um valor próximo o suficiente da raiz, geralmente ele converge razoavelmente rápido.O número de dígitos de precisão geralmente dobra a cada etapa (embora pareça improvável que alguém queira muitos dígitos de precisão até a raiz).