Melhor resposta
Ah! Esta é uma boa observação, e o que ela nos ensina é que os sistemas numéricos de valor posicional permitem que alguns números tenham múltiplas representações com dígitos diferentes.
Sugiro que você tente encontrar a diferença entre as duas expressões numéricas ( ou seja, mostre que há um número entre eles).
Você não pode realmente fazer da maneira usual, porque não há nove últimos dígitos para começar a subtração do dígito menos significativo , existe? Isso porque eles duram para sempre.
Em essência, porém, você pode começar a partir do dígito mais significativo e mantê-lo “emprestado” para a direita, em vez de “emprestar” da esquerda.
Então, se olharmos para os primeiros dígitos, temos
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
“Emprestar” à direita significa considerar a parte dos primeiros dez décimos (o que é!). Subtrair nove décimos resulta em um décimo. Mas podemos “emprestar” isso à direita como dez centésimos, e subtraia nove centésimos disso, e continue indefinidamente.
E isso continua indefinidamente. Não há nenhum lugar onde o processo para e deixa para trás 1 dígito, porque (em certo sentido) para ser concluído este processo (infinito) deixaria para trás apenas zeros à medida que progredisse “todo o caminho” para a direita.
Existem outras maneiras – mais rigorosas e elegantes – de provar que 0. \ dot {9} = 1.
Outra maneira de pensar sobre isso é livrar-se do fardo que é o decimal b sistema ASE (base dez) e contagem no ternário (base três). Ternário é o sistema onde contamos 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ pontos. Os números em ternário não possuem casas decimais, mas sim ternárias. No ternário, temos \ frac {1} {3} = 0,1 e \ frac {2} {3} = 0,2.
Mas então a fração \ frac {1} {2} = 0. \ ponto {1} não termina! Sem falar que no ternário, o não repetitivo 0. \ dot {2} = 1, porque é exatamente o dobro da expressão anterior (se você trocar os lados direito e esquerdo da igualdade deve ser assim).
Este é o grande e poderoso aspecto da igualdade. Como sabemos que na base dez \ frac {1} {3} = 0. \ ponto {3}, então \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ ponto {9}, provando que o mesmo número pode têm várias representações no mesmo sistema numérico de valor posicional.
A moral da história é evitar ser pego no que chamamos de coisas, mas concentre-se no que elas são e o que fazem .
Resposta
Sim, um dividido por três é possível nos campos de números reais ou racionais, e é igual a um terço.
É não possível representar um terço usando uma notação posicional decimal finita. Se você quiser usar uma representação infinita , como aquela implícita pelos pontos em 0,333 \ dotsc, é melhor você ter alguma maneira formal de dizer o que significa. Os matemáticos têm essa especificação formal, chamada de limites, em que 0,999 \ dotsc = 1.
Observe que a representação decimal de um número não é o próprio número. Assim como você não é seu nome, ou seu apelido, ou qualquer um de seus muitos IDs. Os números têm lotes de representações, incluindo muitas bases, palavras, expressões diferentes e assim por diante. As representações para um terço incluem:
- 0,333 \ dotsc (decimal)
- 0,1\_3 (ternário)
- \ frac13
- 20 “(minutos – um terço de uma hora)
- 120 ° (graus – um terço de um círculo)
- \ frac26
e assim por diante.
O próprio número um terço permanece indiferente a todas essas representações. É definido por sua propriedade de ser um dividido por três. Em outras palavras, é esse número que dá um quando multiplicado por três. Todo o resto é apenas uma notação provisória que, como você observou, é um pouco desajeitada em decimal.