Melhor resposta
1. Raízes dos números.
Na escola primária, fomos informados de que a raiz quadrada de um número é na verdade uma pergunta. O número multiplicado por si mesmo, tantas vezes para obter um número, é a raiz. Por exemplo. raiz quadrada de 9 = 3, visto que 3 × 3 = 9 quarta raiz de 16 = 2, visto que 2 × 2 × 2 × 2 = 16 e assim por diante. Porém a natureza das raízes é mais fundamental, pois sua aplicação expandiu o sistema numérico do racional para os reais. Em outras palavras, para usar a operação de localização das raízes foi necessário expandir o sistema numérico de forma que seja fechado sob o operação de “enraizamento” introduzindo os números irracionais. Os números racionais são fechados para +, -, ×, ÷, mas não para√. Por exemplo, √2 não pode ser expresso como uma proporção. Os pitagóricos sabiam disso e supostamente tentaram ceia, já que não se enquadrou, ha, ha, com sua visão de mundo.
2. Raízes das equações
A natureza da qual nos disseram era quando a curva corta eixo x. Isso pode ocorrer uma, duas, três vezes, dependendo do polinômio. Regras foram criadas para calculá-los, que todos nós aprendemos. Em seguida, a pergunta foi feita. O que acontece se a curva não cortar o eixo x? Então, obviamente, temos uma raiz imaginária e isso ocorria quando b ^ 2-4ac . Isso exigia que outra extensão do sistema de números fosse necessário. Então o sistema de números complexos foi inventado para incluir raízes de números negativos. Portanto, a natureza das “raízes” tem sido expandir o sistema numérico além dos números racionais.
Resposta
Imagino que você queira dizer “natural” no sentido de “isomorfismo natural”. Se algo é “natural” ou “canônico”, significa, grosso modo, que não é o resultado de qualquer escolha arbitrária. É determinado pelo seu contexto, naturalmente.
Um dos exemplos motivadores de uma coisa “natural” é o isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão finita V e seu duplo dual V ^ {\ vee \ vee}. O isomorfismo leva v \ in V a E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, onde E\_v (\ phi) = \ phi (v) para \ phi \ in V ^ \ vee. Você envia o vetor v para o mapa E\_v que avalia vetores duais em v. Isso é natural; nenhuma escolha arbitrária foi feita, ele apenas saiu diretamente das definições e relações dos objetos envolvidos.
Há outro isomorfismo entre esses dois espaços, ou claro, mas este é “a escolha certa”. Qualquer outra escolha não seria natural; por exemplo, você poderia enviar v para E\_ {A (v)}, onde A: V \ para V é algum automorfismo linear arbitrário de V. Mas … por quê? Não há nenhuma razão para você apresentar A, já que você tem a escolha natural v \ mapsto E\_v bem na sua frente. Esperançosamente, a diferença entre o isomorfismo “natural” e “não natural” é clara o suficiente.
Por outro lado, não há isomorfismo natural L: V \ para V ^ \ vee. Construir um isomorfismo requer escolhas arbitrárias. Eu poderia escolher uma base b\_1, \ dots, b\_n e declarar L (b\_i) como o vetor dual que leva b\_i a 1 e todos os outros vetores de base a 0. Isso define um isomorfismo perfeitamente fino, mas eu poderia fazer exatamente o mesmo algo com qualquer outra base e obter um isomorfismo diferente e igualmente válido. Não há como escolher um da maneira natural dada por Deus *.
Esta é uma descrição muito grosseira e informal. Ele pode (e é) tornado preciso pela teoria das categorias: functores e transformações naturais fornecem a maneira certa de pensar sobre o que torna algo “natural” em algum contexto. Fiz o meu melhor para transmitir minha própria intuição para o conceito, o que acho que seria suficiente até que alguém esteja pronto para os detalhes sangrentos (categoria).
* Teologia / ontologia da matemática, não obstante