Melhor resposta
Não há realmente uma definição geral de espaço em matemática. Quase qualquer objeto em que possamos pensar visualmente pode ser chamado de espaço. Espaços métricos, variedades, espaços de Hilbert, orbifolds, esquemas, espaços de medida, espaços de probabilidade e pilhas de módulos são coisas que chamamos de espaços.
A coisa mais próxima de uma definição geral de espaço é a probabilidade, a noção de um espaço topológico. Por exemplo, espaços métricos, variedades, espaços de Hilbert, orbifolds e esquemas são todos espaços topológicos com um pouco mais de estrutura.
Um espaço topológico consiste em um conjunto de pontos, X e uma coleção de subconjuntos de X que chamamos de “aberto”, sujeito às condições que
- O conjunto vazio e o próprio X estão abertos,
- Qualquer união de conjuntos abertos está aberta,
- E a interseção de um par de conjuntos abertos está aberta.
Os conjuntos abertos devem ser como os subconjuntos abertos de \ mathbb {R}. Correndo o risco de ser vagos, pensamos nos conjuntos abertos como os subconjuntos U de X, de modo que cada ponto de U pode ser movido um pouco sem sair de U. Este é literalmente o caso de \ mathbb {R}, uma vez que o conjuntos abertos são definidos como subconjuntos U de modo que para todo x \ em U haja um \ epsilon> 0 de modo que (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subconjunto U (ou seja, movendo x em menos de \ epsilon não resultará em um ponto fora de U).
Acontece que essa quantidade mínima de informações – um conjunto de pontos e uma coleção de subconjuntos abertos – é suficiente para dizer se as funções são contínuas. Isso torna os espaços topológicos realmente úteis.
Por outro lado, nem todo espaço na matemática é um espaço topológico, ou mesmo, como outros responderam, um conjunto de pontos com alguma estrutura extra. Isso foi algo que fiquei surpreso ao aprender alguns semestres atrás.
O contra-exemplo que tenho em mente é a ideia de uma pilha de módulos, que (isso fica estranho!) É um tipo particular de functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, onde a pré-imagem de cada objeto D de \ mathcal {D} é pensada como a coleção de funções contínuas de D para o espaço que F deveria representar.
Como diabos isso é um espaço? Para se ter alguma intuição, considere o conjunto de funções contínuas de um espaço consistindo de um único ponto em um espaço topológico, X. Para cada ponto p \ em X, obtemos uma função levando o único ponto a p. Nesse sentido, o conjunto de funções contínuas de um ponto a X descreve os pontos de X. Se considerarmos funções de algo mais sofisticado, digamos um segmento de linha, em X, começamos a ter uma ideia de como os pontos de X estão relacionados com uns aos outros – quais podem ser conectados entre si por um caminho, quais estão próximos e quais estão distantes um do outro, e assim por diante. Considerando todos os conjuntos possíveis de funções em X, podemos deduzir exatamente o que X é. Esta é uma ideia que atende pelo nome de Lema de Yoneda . A ideia de uma pilha de módulos é usar isso como uma metáfora: qualquer functor que “pareça” descrever funções em um espaço topológico pode ser usado para definir um “espaço”.
O que eu quero enfatizar é o seguinte: existem muitos tipos de espaços em matemática, mas se você quiser ter uma ideia fundamental do que é um espaço, deve estudar os espaços topológicos. Dito isso, as coisas ficam estranhas!
Resposta
O próprio espaço não tem uma definição formal. É quase uma versão matemática da palavra “coisa”. Talvez um sinônimo mais próximo seja “conjunto”, mas a palavra “espaço” denota que há algum ingrediente extra … alguma estrutura … que também está em jogo. Caso contrário, eles apenas usarão a palavra “definir”.
Vários tipos de espaços têm definições. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que segue algumas regras. Um espaço topológico é um conjunto junto com uma coleção especial de subconjuntos que satisfazem algumas regras. Um espaço métrico é um conjunto junto com uma fórmula adequada que indica a distância entre os pontos no conjunto. Freqüentemente, os tipos especiais de espaços têm nomes descritivos como estes.
Outros tipos de espaços são nomeados em homenagem às pessoas que os estudaram. Espaços de Banach, espaços de Hilbert, espaços de Sobolev … estes são todos tipos especiais de espaços vetoriais com um pouco de estrutura extra isso os torna interessantes à sua maneira e têm o nome de pessoas que foram importantes no desenvolvimento dessa história.