Geometria: por que existem [matemática] 2 \ pi [/ math] radianos em um círculo?


Melhor resposta

Sempre supus que deriva da fórmula para Circunferência: C = 2πr, o que implica que esta fórmula se aplica independentemente do raio do círculo; ou seja, o raio do círculo específico é irrelevante ou estou fazendo um argumento circular?

De qualquer forma, verifica-se que π / 2 Radianos = 90 °, π Radianos = 180 ° e, portanto , 2π Radianos = 360 °, ou seja, 2π Radianos = a circunferência de QUALQUER círculo, independentemente do raio, ou qualquer outro parâmetro de tamanho de um círculo.

Não tenho certeza se concordo com a suposição de sua pergunta, isto é, Por que um círculo é 2π radianos. Uma vez que um radiano é, de fato, uma descrição de um segmento de arco da circunferência igual em comprimento ao raio do círculo e 2π radianos certamente descrevem a área varrida de um círculo, possivelmente descreve a área e a circunferência de um círculo, mas um círculo é uma coisa, as várias propriedades de um círculo, por exemplo arco, circunferência, raio e área são diferentes, mas partes de um círculo.

Não é minha intenção escolher minuciosamente, mas usar uma linguagem precisa para que todos saibamos o que está sendo discutido.

Resposta

Graus e radianos são duas unidades comuns de medida de ângulos.

Em um círculo, um ângulo central de um radiano de tamanho é subtendido por um arco que é igual em comprimento ao do raio, ou seja, s (comprimento do arco) = r (raio) * θ (a medida em radianos do ângulo central subtendido) r = r (θ) θ = 1 radiano A o ângulo central de um radiano mede aproximadamente 57,3 graus, e há 360 graus em um círculo; portanto, 360 graus / (57,295779513082320 … graus / radianos) é igual a 2π radianos. Em outras palavras, um círculo tem 2π radianos, assim como um círculo tem 360 graus, portanto, 2π radianos = 360 graus. Dito de outra forma, sabemos que a circunferência ou distância em torno de um círculo de raio r = 2πr; Usando a fórmula do comprimento do arco s = rθ, temos: s = rθ 2πr = rθ rθ = 2πr Dividindo ambos os lados por r, temos: θ = 2π radianos Portanto, um círculo completo ou uma revolução completa do círculo corresponde a um ângulo de 2π radianos. Um fato interessante é que se a circunferência de um círculo for dividida pelo raio, ou seja, C / r, descobriríamos que a circunferência contém 2π raios.

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