Melhor resposta
Podemos representar qualquer inteiro positivo n na notação de base dez como n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, onde a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} e a\_k \ neq 0. Então n \ geq 10 ^ k. A soma dos dígitos é a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Essa desigualdade segue de a\_i \ leq 9. Agora é fácil ver que se k \ geq 2, então 18 (k + 1) 0 ^ k. Agora ficamos com os elementos n = 10a\_1 + a\_0. Isso pode ser verificado facilmente com um computador. Aqui está como fiz isso com Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Assim, o único número inteiro positivo que é duas vezes a soma de seus dígitos é 18. Se permitirmos números inteiros não negativos, também temos 0. Não tenho certeza de como essa pergunta deve ser interpretada para números inteiros negativos.
Resposta
O número N é o produto dos primeiros 100 números inteiros positivos. Se todos os dígitos de N fossem escritos, qual dígito estaria próximo a todos os zeros no final?
Basicamente, estamos procurando por 100! e então queremos descartar todos os zeros no final, então queremos saber qual é o primeiro dígito diferente de zero na extrema direita.
Uma maneira é realmente calcular 100! usando um programa como bc (calculadora de bancada no Linux ou Unix) e, em seguida, descarte todos os zeros para chegar ao dígito necessário.
Vamos ver outra maneira de resolver o problema usando o princípio de dividir para conquistar. p>
Vamos descartar todos os números que terminam com 1 i. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 porque conforme você multiplica, o último dígito do múltiplo anterior (produto que chegou até aquele ponto) não vai mudar e não temos interesse em calculando 100! sem zeros de qualquer maneira.
Vamos olhar para os primeiros 9 números começando com 2 e eles são:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Da esquerda para a direita, 2 * 3 dá 6, 6 * 4 dá 24, apenas retenha 4 e multiplique por 5 para obter 20 (já que queremos descartar zero), agora retenha 2 e multiplique-o por 6 para obter 12, novamente retenha apenas 2 e multiplique por 7 para obter 4 (de 14) e multiplique por 8 para obter 2 (descartando 3 de 32) e multiplique por 9 para obter 8 ( descartar 1 de 18) e multiplicá-lo por 10 resulta em 8 (descartando 0 ou 80). Assim, você obtém um único dígito, que é 8 .
Trabalhando de forma semelhante em 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 fornece 8 novamente.
A próxima série 22, 23…, 28, 29, 30 fornece 2.
A próxima série oferece 4
Continuando da mesma forma na série restante, você obteria 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 e 2 respectivamente.
Agora, o final trabalho é multiplicar os dígitos acima que chegamos para cada uma das séries.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 e conforme você os multiplica dígitos e descartamos o décimo dígito ao longo do caminho, chegamos a 4 como o último dígito.
Este é o º A resposta final da pergunta, 4 é o dígito obrigatório.