Melhor resposta
Multiplique por 1-cosX no numerador e denominador.
{(1-cosx) × (1-cosx)} / {(1 + cosx) × (1-cosx)}
Agora, você pode ver no numerador que é (1-cosx) ^ 2
Então, gaste-o como
( ab) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2–2 × a × b
E, no denominador, comprima-o como
(ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2
Agora, (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / (1-cos ^ 2x)
Existe outra fórmula que usamos no denominador para compactá-lo.
Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1
1 -cos ^ 2x = sin ^ 2x
Agora, (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / sin ^ 2x
Divida cada um com sin ^ 2x para obter o resultado.
Ou seja, 1 / sin ^ 2x + cos ^ 2x / sin ^ 2x-2 × cosx / sin ^ 2x
Ou seja, Cosec ^ 2x + cot ^ 2x-2 × cotx × cose cx
Esta é a solução da pergunta fornecida.
Fórmula da solução de última linha:
Sinx × cosecx = 1
Ou cosecx = 1 / sinx
No quadrado ambos os lados,
Cosec ^ 2x = 1 / sin ^ 2x
Cosx / sinx = cotx
Na quadratura de ambos os lados,
Cos ^ 2x / sin ^ 2x = cot ^ 2x
2 × cosx / sinx × 1 / sinx
Ou seja, 2 × cotx × cosecx
Obrigado.
Resposta
Método 1:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ right ) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos ^ 2 \ frac x2- \ sin ^ 2 \ frac x2} {\ cos ^ 2 \ frac x2 + \ sin ^ 2 \ frac x2-2 \ sin \ frac x2 \ cos \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ left (\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2 \ right) \ esquerda (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ direita)} {\ esquerda (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ direita) ^ 2} \ direita)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2} {\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {-1} \ left (\ fr ac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ tan \ frac {\ pi } {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ esquerda (tan \ esquerda (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ direita) \ direita)
= \ frac {\ pi} {4} + \ frac x2
Método 2:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ right) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ frac {1- \ tan ^ 2 \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} {1- \ frac {2 \ tan \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1- \ tan ^ 2 \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2-2 \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ left (1 + \ tan \ frac x2 \ right) \ left (1- \ tan \ frac x2 \ right)} {\ left (1- \ tan \ frac x2 \ right) ^ 2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ esquerda (\ frac {\ tan \ frac {\ pi} {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ direita)
= \ tan ^ {- 1} \ left (tan \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ right) \ right)
= \ frac {\ pi } {4} + \ frac x2