Melhor resposta
Explicarei com a ajuda de um exemplo. A figura mostra uma treliça carregada e apoiada conforme mostrado. Nosso interesse é descobrir as reações e as forças em todos os membros de uma treliça. As reações e as forças nos membros dependem não apenas da magnitude e direção das forças aplicadas, mas também de sua localização, ou seja, os pontos de aplicação. O diagrama de espaço cuida do ponto de aplicação das forças e da geometria da treliça.
A figura mostrada acima é apenas para obter as reações. A força aplicada P\_1 é ab e a força P\_2 é bc no diagrama vetorial. A reação R\_1 é igual a da e a reação R\_2 é igual a cd no diagrama vetorial.
Podemos prosseguir com o diagrama espacial e o diagrama vetorial para calcular as forças em todos os membros. Não feito aqui apenas para manter a figura muito simples de entender.
A condição de equilíbrio é encontrada quando o diagrama vetorial e o polígono funicular fecham.
Resposta
Isso não está totalmente claro o que “posições” significa aqui, mas acho que uma resposta pode ser que os vetores não têm posições, mas os espaços vetoriais podem ter posições, e essas duas ideias cobrem as aplicações.
I Estou assumindo aqui que a falta de “posicionalidade” na questão se refere ao fato de que “setas” paralelas do mesmo comprimento e orientação representam o mesmo vetor. Existem inúmeras razões para a introdução desta convenção.
- Uma das idéias fundamentais subjacentes ao uso básico do vetor é o conceito de um deslocamento , que também é a fonte de velocidade, aceleração e (via F = ma) força. Os deslocamentos não têm posição, ao contrário, existe um deslocamento potencial de uma determinada direção e magnitude em cada posição. Se dissermos “dirija-se a dez milhas para noroeste”, essa é uma instrução de deslocamento que se aplica a todos os lugares e não apenas a um local específico.
- Os deslocamentos podem ser combinados, mas apenas se o segundo deslocamento começar onde o primeiro termina . Se os deslocamentos são representados por setas, então, para se obter o deslocamento combinado, uma das setas deve ser transladada para se obter uma configuração cauda-a-cabeça para o deslocamento combinado. Claro, isso não faria sentido se a seta traduzida não continuasse a representar o mesmo deslocamento.
- A experiência com o comportamento das forças requer a habilidade de traduzir setas de força ao redor, uma vez que em termos de forças os objetos se comportam como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro de gravidade e todas as forças estivessem agindo nesse ponto. (Tive cuidado com minha linguagem itálica aqui, pois algo diferente acontece quando os torques são introduzidos!)
A abstração matemática que cobre todas essas situações é o espaço vetorial. Se precisarmos de setas que possam ser localizadas em qualquer lugar, então impomos uma relação de equivalência ao conjunto de setas, tornando duas setas equivalentes se forem paralelas e tiverem a mesma direção. (“Mesma direção” tem conteúdo intuitivo que é um pouco complicado de sistematizar.) Um vetor se torna uma classe de equivalência de setas, e a adição de vetores é definida pegando-se representantes de classe “convenientes” e adicionando-os por meio da lei da cauda a cabeça ou do paralelogramo.
O uso de classes de equivalência e seus representantes não deveriam parecer nada peculiares; é exatamente o que fazemos com frações. Uma “fração” pode ser considerada uma classe de equivalência de símbolos a / b (b \ ne 0) sob a relação de equivalência a / b \ equiv (na) / (nb). Quando queremos somar duas “frações”, enraizamos suas respectivas classes de equivalência até encontrarmos dois representantes com o mesmo denominador e, em seguida, somamos os numeradores. A adição de vetores é muito análoga a isso. Além disso, com as frações, há um conjunto “preferido” de representantes de classe, as frações “em termos mais baixos”. Para vetores, há também uma classe “preferida” de representantes, os vetores cujas caudas estão na origem, e são considerados os elementos abstratos de um espaço vetorial quando a analogia da seta está em jogo.
Agora, existem situações em que realmente importa onde a seta está, mover a seta não faz sentido, e setas localizadas em pontos diferentes não podem e não devem ser adicionadas. Um mapa meteorológico com setas representando a velocidade do vento em vários locais é um exemplo. Os torques mencionados anteriormente também são um exemplo; a localização de uma força em relação ao centro de gravidade importa e a seta de força não pode ser transladada para outro ponto sem alterar o torque resultante. (Observe, a propósito, que os próprios torques são vetores que podem ser adicionados.) Para um exemplo matemático genérico, o campo gradiente de um campo escalar consiste em setas fixadas em locais específicos e não são traduzíveis arbitrariamente.
Uma observação elementar sobre esses vetores dependentes de posição é que o vetor usual leis espaciais (adição e multiplicação escalar) continuam válidas para todos os vetores em qualquer posição fixa . Isso nos diz que a “solução” para o enigma dependente da posição é colocar um espaço vetorial inteiro em cada ponto do espaço em questão. Os espaços resultantes são normalmente chamado de espaços tangentes , uma vez que o espaço tangente em um ponto pode ser considerado o conjunto de todos os vetores de velocidade para caminhos parametrizados através desse ponto (assumindo diferenciabilidade suficiente para a descrição para fazer sentido).
A coleção de todos os espaços tangentes é chamada de tangente bundle, e agora se você precisa ter um vetor dependente da posição em cada ponto do seu espaço, você precisa de um mapa do espaço para o bundle tangente que seleciona exatamente um vetor em cada espaço tangente em pontos distintos; tal mapa é chamado de seção do pacote, e a coleção resultante de vetores dependentes de posição é chamada de campo vetorial no espaço original.
Dessa forma, podemos ter nosso bolo e comê-lo; vetores não têm “posições”, mas espaços vetoriais têm.