Melhor resposta
\ frac {d} {dx} não é uma “coisa”. Você deve pensar nisso como se fosse o nome de uma ação ou operação, ou uma função que recebe uma entrada. [1]
Especificamente, se f (x) é uma função, podemos querer realizar a ação de diferenciação nessa função; uma maneira de escrever essa ação é \ frac {d} {dx} f (x). Isso significa que f (x) é a entrada para a operação de diferenciação em relação a x.
Gramaticamente, então, \ frac {d} {dx} não é “uma frase completa” , ou mesmo um substantivo autossuficiente. É mais como um verbo, que precisa de um objeto direto. Esse objeto direto pode ser qualquer função de x – em particular, se y é uma função de x, então \ frac {d} {dx} y faz sentido escrever . Em inglês, esta frase significa “o resultado de tomar a derivada em relação a x de y”. Para resumir, geralmente escrevemos isso como \ frac {dy} {dx}, mas até que você esteja confortável com a notação \ frac {d} {dx}, sugiro que você continue escrevendo a entrada para a operação de diferenciação à direita, como tenho feito.
Para sua segunda pergunta: a regra da cadeia é o método de calcular uma derivada de uma composição de funções.
[1] Sim, eu sei, funções também são coisas.
Resposta
Seja f a função:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) onde x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Let “s calcula \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Ao diferenciar (1) obtemos:
(2) df = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ parcial f } {\ parcial x\_ {n}} dx\_ {n}
Se dividirmos ambos os lados por dt o resultado é:
df = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Obtemos o resultado final:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {n}} x “\_ {n} (t) Esta derivação é feita usando a definição de diferencial de uma função multivariável (equação (2)).
Então, como obtivemos essa definição? Vejamos primeiro como definimos f ser diferenciável em algum ponto A.
Se pudermos mostrar que a diferença total de uma função f em algum ponto A se parece com isto:
\ triângulo f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triângulo x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
onde p\_ {k} é algum coeficiente numérico, \ omega é uma função que tem uma propriedade que \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 e \ rho (X, A) é a distância euclidiana entre A e X então dizemos que a função f pode ser diferenciada no ponto A.
Agora, precisaremos de mais um teorema:
Expressão \ omega (X) \ rho (X, A) do acima pode ser escrito como:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Prova:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
uma vez que | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), porque | x\_ {k} -a\_ {k} | é a aresta de um d \ rho (X, A) é a diagonal do paralelepípedo em ângulo reto, podemos considerar a fração como sendo \ epsilon\_ {k} (X).
Agora precisamos de apenas mais um teorema para chegar ao diferencial. Este teorema nos dá as condições necessárias para termos o diferencial da função.
Se a função f é, pode ser diferenciados em algum ponto A, então existem diferenciais parciais naquele ponto e é verdade que:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Prova:
Como dissemos que f pode ser diferenciado no ponto A, podemos escrever:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Digamos que n-1 variáveis aqui são constantes, e vamos deixar apenas uma mudança pouco a pouco. Por exemplo: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, obtemos:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. No lado esquerdo temos o diferencial em relação a x\_ {1}. Se dividirmos ambos os lados por x\_ {1} -a\_ {1} = \ triângulo x\_ {1} obteremos:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triângulo x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Agora, se x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , que é \ triângulo x\_ {1} \ mapsto 0, no lado esquerdo temos diferencial parcial em relação a x\_ {1}, e no lado direito ficamos com p\_ {1} porque dissemos que \ omega (X) \ mapsto 0. É fácil ver que o mesmo resultado se aplica não importa qual variável acabemos mudando, portanto, provamos este teorema. A partir daqui, temos que
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} que usamos para encontrar a solução.