Melhor resposta
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Para x + 2 = 0, temos x = -2
Para x ^ 2-2x + 4 = 0, precisamos resolvê-lo com a fórmula quadrática:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Obtemos a solução x = 1 + i \ sqrt {3} e x = 1 – i \ sqrt {3}
Se estamos falando de números reais, -8 tem uma raiz cúbica: -2
Se estamos falando de números complexos, -8 tem três raízes cúbicas: -2, 1 + i \ sqrt {3} e 1 – i \ sqrt { 3}
Resposta
Você não declara se deseja a resposta em um contexto real ou complexo. Existe uma raiz real e um par de raízes conjugadas complexas. Você declara “raiz cúbica” no singular. Portanto, parece natural considerar o caso de um contexto real com sua única raiz real e separadamente o caso da raiz principal em um contexto complexo.
Em um contexto real, a raiz cúbica de −8 é -2.
Em um contexto complexo, a raiz cúbica principal de -8 é 1 + i \ sqrt {3}. Pode parecer estranho que a raiz selecionada em um contexto real não seja também selecionada em um contexto complexo, embora a raiz real esteja disponível. Porém, a raiz principal em um contexto complexo é aquela que está mais próxima de estar no eixo real positivo, e se duas se amarram por serem mais próximas, pegue aquela com parte imaginária positiva. A raiz cúbica não é uma função contínua no plano complexo – há um corte de ramo ao longo do eixo real negativo.