Melhor resposta
O Operador Del é uma maneira de encontrar a derivada de um vetor. Você pode estar familiarizado com a localização da derivada para funções escalares, que podem ser representadas por algo na forma
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
onde f (x) é uma função de x, f “(x) é sua derivada e \ frac {d} {dx} é o termo que nos diz para tirar a derivada em primeiro lugar. Você pode pensar em \ frac {d} {dx} como o operador derivado, porque ele diz a você para tirar uma derivada do que está próximo.
Agora, queremos também fazer isso para vetores, mais frequentemente aqueles representados em coordenadas cartesianas (funções de x, y e z). Por quê? Porque muitos fenômenos físicos (como campos elétricos ou gravitacionais) podem ser descritos como vetores, e as mudanças desses fenômenos (e, portanto, as derivadas) são importantes.
Então, como tiramos a derivada de um vetor ? Usamos o operador Del. Como queremos usá-lo com vetores, ele precisará ser um vetor em si. E como queremos usá-lo para todas as três coordenadas cartesianas e não apenas para x, ele terá mais letras. Em última análise, o operador Del é muito semelhante ao nosso operador derivado acima, mas com mais alguns termos:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
O \ nabla é o que chamamos de Del Operator, embora o símbolo seja oficialmente um nabla; Honestamente, fui ensinado que se chamava delta de cabeça para baixo! Além de apenas uma derivada em relação a x, agora também pegamos derivadas parciais em relação a y e z. Quando tomamos uma derivada parcial, apenas tratamos todas as variáveis, exceto uma como constantes, e tomamos a derivada com relação à nossa variável escolhida.
Agora, como existem duas maneiras de multiplicar vetores, naturalmente obtemos duas maneiras de obter uma derivada vetorial. As duas maneiras de multiplicar vetores são usando o produto escalar e o produto vetorial ; o resultado de cada multiplicação é um valor escalar e um valor vetorial, respectivamente.
Um exemplo usando o produto escalar é calcular a divergência do campo elétrico:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Aqui, tomamos uma derivada usando o produto escalar e ficamos com o valor escalar {\ rho} \_v, que é a densidade de carga de volume em uma região.
Um exemplo usando o produto vetorial está no cálculo da curvatura do campo elétrico:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Aqui, pegamos uma derivada usando o produto vetorial e ficamos com o valor do vetor \ mathbf {B} (mais especificamente, sua derivada de tempo).
O Operador Del também é útil fora dos vetores, entretanto. Se tratarmos o Operador Del como apenas uma soma de três coisas diferentes, podemos multiplicá-lo por alguma função escalar e essa função é distribuída por toda a coisa:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial x} + {\ hat y} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
Neste caso, transformamos um escalar em um vetor! Isso é conhecido como obter o “gradiente” da função escalar. O que ele faz, é dizer a você em qual direção a função está mudando mais rapidamente. Isso é freqüentemente usado para campos potenciais, que tomam a forma:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
onde \ mathbf {U} é uma energia potencial (como uma mola ou gravidade) e F é a força que resulta de ser colocado naquele campo. Ainda é uma derivada vetorial, que é o que descrevemos como o Operador Del anteriormente, é apenas que é a derivada vetorial de um escalar em vez da derivada vetorial de um vetor. Sim, eles existem também!
E assim por diante. Você pode ter visto o termo {\ nabla} ^ 2; isso é conhecido como Laplaciano e é visto em coisas como a equação de onda. Basicamente, é apenas usar o Del Operator duas vezes seguidas. Ele pode ser expandido para outros sistemas de coordenadas com mais variáveis ou reduzido para duas ou uma dimensão. É um conceito muito importante e é usado em quase todos os ramos da física!
Resposta
O operador del (também chamado de nabla) é definido como segue em coordenadas cartesianas :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
Quanto ao significado físico?
O operador del atua como o equivalente de cálculo vetorial de uma derivada espacial. Existem três tipos de derivados associados ao operador del. Vamos supor que A seja um vetor e \ phi um escalar.
O Gradiente: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
A Divergência: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ parcial A\_x} {\ parcial x} + \ frac {\ parcial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
O Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Cada um desses tipos de derivados tem propriedades interessantes que você pode pesquisar no Google.
Espero que isso ajude!
Observação: todas essas equações são diferentes em outros sistemas de coordenadas (por exemplo, esférico, cilíndrico) . Tenha cuidado!