Melhor resposta
Um tensor contravariante de posto 2 é simétrico se for invariante sob a permutação de seus índices. Seus componentes não mudam com a troca dos índices e satisfazem o seguinte:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Da mesma forma, um tensor covariante de classificação 2 é simétrico se é invariante sob a permutação de seus índices, e seus componentes satisfazem o seguinte:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensores de classificação 2 podem ser geralmente representados por matrizes , então a simetria de um tensor está essencialmente relacionada à simetria da matriz que o representa. Sabe-se que se as entradas de uma matriz simétrica (quadrada) são expressas como A = (a\_ {pq}), então a\_ {pq} = a\_ {qp} para todos os índices p e q. A matriz simétrica é igual à sua transposta ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Exemplos de tensores simétricos de segunda ordem incluem o tensor métrico g \_ {\ mu \ nu} , ou o tensor de tensão de Cauchy ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) que pode ser escrito na forma de matriz como:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matriz} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matriz}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Se, por exemplo, tivermos um tensor de classificação superior da forma
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
diz-se que o tensor é simétrico em m e p.
Um tensor que é simétrico em relação a quaisquer dois contravariantes e qualquer dois índices covariantes são considerados simétricos.
Um tensor é chamado de simétrico inclinado ou anti-simétrico se
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
No caso geral, um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob uma permutação de seus argumentos vetoriais:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
para cada permutação σ dos símbolos {1, 2, …, r }. Como alternativa, um tensor simétrico de ordem ou classificação r representado em coordenadas como uma quantidade com r índices satisfazem
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Resposta
Matrizes são matrizes retangulares de elementos de algum campo (geralmente \ mathbb {R} ou \ mathbb {C}, mas nem sempre) que têm um operação de multiplicação por outra matriz e multiplicação por um elemento de campo definido.
As matrizes são usadas para representar um grande número de coisas diferentes:
- coeficientes de equações lineares
- transformações lineares (dado um determinado conjunto ordenado de vetores de base)
- mudança de base de espaços vetoriais (dados dois conjuntos ordenados de vetores de base)
- tensores (especificamente ordem 2 tensores)
- certos grupos
- etc.
Alguns desses usos podem ser confusos: dada uma matriz quadrada não singular sem contexto, é impossível dizer se está representando uma transformação linear (ou em que base), uma mudança de base ou um tensor.
Em suma, as matrizes são muito gerais.
Tensores são funcionais multilineares em vetores e funcionais (vetores duais). Em outras palavras, um tensor de ordem n + m é uma função em n vetores em vetores duais que retorna um número real ou complexo e é linear em todos os seus argumentos.
Tensores em espaços vetoriais de dimensão finita pode ser representado por uma matriz n + m-dimensional de elementos do campo do espaço vetorial, e para tensores de ordem 2 isso é frequentemente representado como uma matriz. Como a representação de matriz de transformações lineares, a representação de matriz multidimensional de um tensor depende da base usada.
Os tensores são frequentemente descritos, usados e, às vezes, até definido em termos de arranjos multidimensionais de elementos de campo, sujeito à restrição de como o tensor se transforma em relação às mudanças diferenciais nos vetores de base. Mas em seu cerne, eles são funcionais multilineares em vetores e funcionais lineares.