Melhor resposta
2 \ displaystyle \ int\_ {0} ^ {∞} (x ^ {(k-1)} * e ^ {(- x / θ)}) / (Γ (k) θ ^ k) \ dx = 2
Esta integral é simplesmente a área sob uma função de densidade de probabilidade aleatória (pdf) que escolhi , mas o mesmo se aplica a qualquer pdf, e como as probabilidades variam de 0 a 1, essa integral varia de 0 a 1 dependendo de seus limites inferior e superior. Dado que os limites inferior e superior são 0 e ∞ respectivamente, esta integral é avaliada como 1. Isso ocorre simplesmente porque quando você integra de 0 a ∞, você está realmente fazendo uma soma das probabilidades de cada evento ocorrer, e sabemos que se somarmos as probabilidades de cada evento individual que ocorre em um espaço amostral, o resultado deve ser igual a 1. Para ilustrar isso, darei um exemplo simples. Imagine que você joga uma moeda duas vezes, cada lance independente do outro.
Deixe H representar uma cabeça virada e T representar uma cauda virada
Seu espaço de amostra é então {(H, H ), (H, T), (T, H), (T, T)}
Então, em outras palavras, as moedas duplas caem na cabeça ou ambas caem na cauda, ou ambas são opostos um do outro.
P (ambos são cara) = P (H, H) = 1/4
P (ambos são caudas) = P (T, T) = 1/4
P (ambos são opostos um do outro) = P (H, T) + P (T, H) = 1/4 + 1/4 = 2/4
Somando essas probabilidades resulta: 1/4 + 1/4 + 2/4 = 4/4 = 1
Tudo bem! Portanto, se a integral deste pdf (ou qualquer outro pdf na verdade) de 0 a ∞ sempre for avaliada como 1, então 2 vezes essa integral sempre será avaliada como 2. Pronto, cara!
Resposta
Provavelmente existe um que já foi definido no Quora: qual é o valor mínimo com a, b, c, d positivo para que abcd = 1 de \ frac {1} {a (1 + b)} + \ frac {1} {b (1 + c)} + \ frac {1} {c (1 + d)} + \ frac {1} {d (1 + a)}?
Aí está o ouro oldy: qual é o menor número inteiro positivo que ocorre com frequência infinita como a diferença de dois primos? Só muito recentemente sabemos que esse número inteiro existe e é menor que 1000. Todos esperam que a resposta seja 2, mas provar isso é difícil. (O primeiro acima pode ser quebrado por aplicativos de computação rígidos. Existem truques de cálculo que podem identificar candidatos para o mínimo. O espaço de pesquisa é nominalmente infinito, mas as coisas podem ser reduzidas. Um esforço concentrado de qualquer pessoa com bastante tempo e poder computacional e algum grau razoável de habilidade acabariam quebrando-o.)
A hipótese de Riemann diz que a parte real de um zero não trivial da função zeta de Riemann é 1/2. Então pergunte, qual é o maior número que ocorre como recíproco da parte real de um zero da função zeta de Riemann? E a resposta é provavelmente 2, mas novamente estamos longe de ser uma prova.
Em certo sentido, qualquer questão sim-não de matemática, resolvida ou não, pode ser reformulada, artificialmente, se não naturalmente, em algo para o qual a resposta pode muito bem ser “2”.