Melhor resposta
Posso adicionar um pouco aos pontos acima. Basicamente, se estivéssemos envolvidos em uma conversa familiar com Sócrates, nós simplesmente o chamaríamos de Sōkratēs, “Sócrates” – de longe o uso mais comum nos diálogos de Platão. Em contextos mais formais (ou falsos), podemos adicionar seu patronímico (nome do pai): Sōphroniskou, “[Filho de] Sophroniscus”. Para ficar mais formal ainda, podemos adicionar seu nome demótico, referindo-se ao seu distrito de origem: “Alōpekēthen” ou “do [deme de] Alōpeke. Algo como um “nome completo” em nosso sentido se assemelharia a “Sócrates, filho de Sophroniscus, de Alopeke” – Sōkratēs Sōphroniskou Alōpekēthen.
Em um pouco mais de detalhe, os dois elementos principais de um nome pessoal em ( a maior parte da) Grécia clássica eram (1) o prenome e (2) o patronímico (nome do pai). Por exemplo, Sócrates era (de acordo com a tradição antiga) filho de um pedreiro chamado Sophroniscus. Portanto, ele poderia ser chamado Sōkratēs Sōphroniskou (literalmente “Sócrates de Sophroniscus”, ou seja, Sócrates, Sophroniscus “[filho]). Nos diálogos platônicos, Sócrates é geralmente chamado por seu nome de batismo (Sōkratēs) em uma conversa casual, mas às vezes pelo nome de seu pai (por exemplo, Laches 180D: “Ó filho de Sophroniscus”), que pode oferecer variações na conversa, ou sugerir (frequentemente em jogo) um contexto mais formal ou respeitoso.
Dependendo da situação, um terceiro elemento pode ser adicionado: (3) um nome étnico ou demótico, denotando o lugar ou comunidade da pessoa da origem. Na Atenas do século V aC, onde Sócrates era cidadão, o uso local costumava se referir a um “deme” ou distrito da Ática. Sócrates “deme era Alopeke, e ele é tratado (fingindo sério) em um dos diálogos platônicos por seu nome demótico (Górgias 495D). Se estivéssemos fora da Ática, em outro lugar do mundo grego, poderíamos adicionar (ou simplesmente declarar) que Sócrates era da cidade de Atenas em geral.
O projeto Lexicon of Greek Personal Names tem um bom resumo online de como os nomes são construídos, se útil: http://www.lgpn.ox.ac.uk/names/practices.html
Resposta
Os gregos daquela época tendiam a ser conhecidos por um único nome. Se houvesse confusão, eles poderiam adotar um qualificador, como a cidade de onde eram ou sua ocupação, ou talvez do nome de seu pai.
Então, você poderia dizer que Sócrates era seu primeiro nome, ou melhor, seu nome de batismo. Já houve outras pessoas chamadas Sócrates antes e depois. Se houvesse outras pessoas correndo em torno de Atenas na época, todas elas poderiam se virar se você gritasse o nome.
Os gregos tendia a ser bastante inteligente quanto aos seus nomes. (Ao contrário dos romanos, que tinham apenas um pequeno conjunto de nomes próprios para recorrer, incluindo apenas a numeração de seus filhos.) Sócrates foi nomeado para “Isokratos”, “poder igual” (o mesmo “kratos” que compõe a palavra “democrático”, “poder do povo”). Essa liberdade de nomeação significava que não haveria tantas pessoas com o mesmo nome por perto.