Melhor resposta
Um espinor é apenas um vetor que se comporta de maneira diferente sob rotações e outras transformações .
Em vez de falar em generalidades, acho que se torna muito mais fácil pensar sobre espinores quando você tem um exemplo matemático concreto para trabalhar. Essa resposta fará exatamente isso. Nenhum conhecimento matemático além da álgebra linear introdutória é assumido.
Uma introdução mais técnica pode ser encontrada em O excelente artigo introdutório de Steane sobre o assunto, com um tratamento mais completo fornecido aqui: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Todas as ilustrações abaixo são dele. Se eu entender algo errado, sinta-se à vontade para comentar.
O que são espinadores
Eu disse acima que os espinores eram apenas vetores. O que isso significa? Significa que eles têm todas as propriedades dos vetores:
- eles podem ser somados,
- multiplicados por uma constante (também chamada de escalar ),
- existe algo como um spinor “zero”,
- e todo spinor tem um spinor inverso .
Você pode ir em frente e adicionar requisitos mais complexos:
- Dois espinores podem ter um produto interno bem definido, assim como espaços vetoriais.
- Um espinor pode ter um comprimento significativo, assim como outros espaços vetoriais.
e assim por diante.
Sobre o apenas requisito para um spinor que o torna diferente de um vetor é que tentar girá-lo não fornecerá o resultado esperado – tentar girar 360 graus não dá a você o mesmo spinor, mas girando por 180 graus. De maneira mais geral, a rotação por um ângulo \ theta requer o uso da matriz de rotação para um ângulo \ theta / 2!
Com isso em mente, aqui está um espinor simples que pode ser imaginado no espaço euclidiano tridimensional comum e que assume todas as propriedades que listei acima. Este é o spinor mais simples e o que será mais familiar para os físicos.
Aqui está uma descrição matemática perfeitamente válida do spinor acima:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Diga olá para o seu primeiro spinor!
Pensando em espinadores: um aviso
Antes de prosseguir, observe algo: o espaço euclidiano, como mencionei, é tridimensional – mas eu só preciso de dois componentes para representar meu spinor! Como isso pode ser? Todos os vetores não precisam ter o mesmo número de componentes que a dimensão do espaço que ocupam?
A contradição pode ser resolvida em uma frase: espinores não vivem no espaço euclidiano – eles podem corresponder a objetos no espaço euclidiano, e as coisas feitas para eles podem ser feitas para corresponder às coisas feitas no espaço euclidiano, mas esse não é seu lar.
A verdade é que o spinor não tem dois componentes como eu disse acima (neste ponto você provavelmente está piscando para a tela e xingando baixinho ) Um spinor não tem a mesma orientação de um vetor no espaço vetorial que colocamos – você pode modelar objetos em um espaço vetorial comum com ele, como eu fiz aqui, mas um verdadeiro spinor é definido por mais parâmetros do que um vetor comum em tal espaço.
Simplificando , onde a orientação de um vetor comum seria apenas definida por r, \ theta, \ phi, a orientação de um espinor é definida por r, \ theta, \ phi, \ alpha e seu sinal (assumido como positivo no exemplo acima) – falando propriamente, um espaço vetorial tridimensional pode ser representado por um quadridimensional spinor (o sinal, uma vez que só pode assumir dois valores, também pode ser pensado como uma dimensão, mas seria desnecessário).
Você pode escrever este spinor como um vetor com quatro componentes , um para cada parâmetro, multiplicado por um sinal – ou você pode usar um truque, como Eu fiz e finja que o spinor tem componentes complexos, o que nos permite escrever perfeitamente o mesmo spinor com a representação acima com duas coordenadas.É por isso que meu spinor parece ter dois componentes, quando na verdade ele tem quatro parâmetros e a dimensão associada que o acompanha, em um espaço vetorial tridimensional: porque nossos spinors existem em seu próprio espaço complexo, não no espaço vetorial tridimensional.
Portanto, antes de prosseguir, lembre-se : spinors precisam apenas ter a mesma dimensão espacial (ou seja, os parâmetros necessários para especificar sua orientação no espaço), mas esses não precisam ser os únicos parâmetros que a definem. Neste caso, estou tratando os componentes do meu espinor como de valor complexo, e é por isso que posso escrevê-lo tão concisamente em um vetor de coluna de dois componentes – mas os espinores podem e têm mais parâmetros, por isso são bastante complicados trabalhar com.
Na vida real, eu fortemente recomendo lembrar que os espinadores não “t realmente vivem ao nosso lado – são, como todas as outras coisas na física, abstrações matemáticas que tornam a vida mais fácil de trabalhar. Tudo o que realmente acontece com objetos tridimensionais – mas podemos usar spinors para modelá-los e tornar a matemática mais agradável, e é por isso que o fazemos.
Para para esclarecer esse ponto, considere o seguinte diagrama:
Observe como a presença do ângulo da bandeira complica questões tão simples como a rotação e o que constitui a ortogonalidade. É um parâmetro extra e isso faz toda a diferença.
Por causa dos problemas apresentados por esta dimensionalidade ímpar do spinor, você não pode simplesmente usar a matriz de rotação comum para duas dimensões estamos mais familiarizados, a saber, o ubíquo \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} para qualquer ângulo. Isso seria correto para um vetor bidimensional, mas mesmo os espinores mais simples não , como me esforcei para apontar, são bidimensionais. Você também não pode usar as matrizes tridimensionais regulares – você certamente pode traduzir o efeito da rotação nesses caras, mas não é correto para diretamente multiplique um spinor com eles, porque eles não pertencem ao mesmo espaço.
Como girar os spinors
Uma rotação em torno de cada eixo, então, é dada por sua própria matriz de rotação especial, definida em um espaço completamente diferente onde os espinhos realmente vivem (em vez do espaço euclidiano). Vamos denotar as matrizes de rotação por ângulo \ theta nas direções x, y, z como R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Depois, ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Aqui está a parte divertida: você notou como todas essas matrizes de rotação usam o meio-ângulo \ frac {\ theta} {2} para girar por ângulo \ theta?
É verdade! Este fenômeno de duplicação do ângulo é a marca registrada dos espinores: você pode até provar que multiplicar um espinor por essas matrizes semi-angulares é equivalente a girar a parte espacial pelo ângulo total.
E isso “é literalmente isso : tudo que você precisa para saber sobre espinores – que eles são vetores que vivem em seu próprio espaço especial e têm suas próprias matrizes de rotação especiais – abrangidos por uma resposta do Quora. Restringi minha atenção aos espinores mais simples por aí, é claro, mas o essencial recursos são todos apresentados. Se você quiser se aprofundar mais, consulte Steane (link acima).
Por que nos importamos com os spinors
Os spinors são importantes porque descobriram que são capazes de descrever todo o espectro de comportamento esperado de partículas subatômicas. Em particular, as partículas vêm agrupadas com o momento angular intrínseco, uma propriedade que chamamos de spin (veja a resposta de Brian Bi para Será que o spin das partículas subatômicas realmente envolve momento angular (ou seja, a partícula está realmente * girando *)? para uma descrição completa).Modelando partículas como espinores em vez de vetores comuns, somos capazes de descrever com sucesso a interação que esperamos desse spin, bem como fornecer uma descrição completa do comportamento das partículas – de fato, os espinores formam a base da equação de Dirac, que substitui a equação de Schrodinger para fornecer uma equação de onda compatível com a relatividade especial e, por sua vez, formar a base da teoria quântica de campos (a extensão da mecânica quântica para descrever forças).
Resposta
Os espinores são objetos geométricos que existem na vida em espaços vetoriais reais (em contraste com espaços vetoriais complexos ou quaterniônicos).
Então, para voltar, um vetor é um objeto que existe no espaço e é dito que aponta em uma determinada direção. O que isso significa é que, se você girar seus eixos, o vetor de componentes muda da mesma maneira.
Os vetores têm a propriedade de que se você girá-los 360 “, você obtém o mesmo objeto.
Há uma série de objetos geométricos que podem ser construídos a partir de vetores. Por exemplo você pode pegar dois vetores e multiplicá-los para obter tensores. Em particular, o tensor de momento de inércia é um deles. Os tensores têm a propriedade de que, se girá-los 360 “/ N, você obtém o mesmo objeto e se girá-los 360 “você sempre volta para o mesmo objeto.
Em espaços que têm um grupo de simetria que é ortogonal (aqueles que surgem naturalmente em espaços vetoriais reais), existem outros tipos de objetos geométricos que são não é feito de vetores. Uma maneira de ver isso é que se você girá-los em 360 “você não” recebe de volta o mesmo objeto, em vez disso, você acaba com -1 vezes o objeto original – ele está apontando para o “direção oposta.
Esses são objetos estranhos; no entanto, esses objetos são os que descrevem naturalmente objetos de spin 1/2 na física.
Esses objetos existem devido à estranha propriedade de que o grupo de simetria ortogonal é duplamente conectado. Há uma estrutura matemática rica aqui, mas esses objetos são moralmente a raiz quadrada de um vetor – isto é, se você múltiplos dois espinores juntos, você obtém um vetor, como quando você multiplica dois vetores juntos, você obtém um tensor de segunda categoria como o momento de tensor de inércia.