Melhor resposta
2x + y = 5, x – y = 1 tem uma solução única de x = 2, y = 1. As linhas 2x + y = 5, x – y = 1 se cruzam em um e somente um ponto e este é (1,2).
Se houver duas linhas paralelas, como x – y = 1 e x – y = 7, então não há solução para as equações x – y = 1, x – y = 7.
Se 2 equações são de fato iguais, como x – y = 1,5 x – 5y = 5 então qualquer ponto nessa linha é uma solução tal x = 3, y = 2 ou x = 1.000 y = 999 e não há uma solução única.
Isso torna-se um pouco mais interessante em uma situação onde há 3 variáveis, digamos x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 tem um único solução de x = 1, y = 1, z = 1. Os planos 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 se cruzam em um e apenas um ponto e isto é (1,1, 1).
Se houver três planos paralelos, como x + y + z = 1, x + y + z = 4 e x + y + z = 8, então não há solução para as equações x + y + z = 1, x + y + z = 4 e x + y + z = 8.
Se uma equação for uma combinação linear de duas outras, então não há solução única. Aqui está um exemplo 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Não é apenas (1,1,1) uma solução, mas também (2,2, -2) e (3, 3, -7). Na verdade, há uma infinidade de soluções.
A razão é que uma equação é uma combinação linear das outras
3x + z = 4 é 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Existem muitas referências a isso, mas espero que isso lhe dê alguma ideia sobre o que são soluções únicas em sistemas lineares.
Resposta
Minha resposta vai primeiro assumir que este é um sistema de equações lineares em comparação com um sistema com desigualdades lineares.
Resposta curta – Opções mutuamente exclusivas: nenhuma solução, uma solução única ou um número infinito de soluções.
Resposta longa – O que são os tipos de soluções depende em certa medida de quantas equações e de quantas variáveis no sistema linear e como você deseja descrever o sistema.
Algebraicamente:
- Um sistema sem soluções é chamado de sistema inconsistente . Isso significa que não há um conjunto de valores para as variáveis que resolva simultaneamente todas as equações do sistema. O seguinte sistema é inconsistente:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Um sistema com exatamente uma solução é chamado de sistema consistente e independente. Consistente porque existe uma solução e independente porque cada equação é independente das outras equações. Isso significa que cada valor para as variáveis na solução é independente dos valores das outras variáveis. Existe exatamente um conjunto de valores – um valor por variável – que resolve simultaneamente todas as equações do sistema. O seguinte é um sistema independente e consistente (retirado de mathisfun.com) com solução x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Um sistema com infinitas soluções é chamado de sistema dependente e consistente. É dependente porque pelo menos uma equação no sistema é um múltiplo de outra equação ou uma combinação de outras equações. Isso significa que, embora as outras variáveis no sistema tenham apenas um valor que resolve todos os sistemas simultaneamente, uma ou mais variáveis podem resolver o sistema com qualquer valor. O seguinte é um sistema consistente e dependente com solução y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graficamente (sistema de 3 variáveis como exemplo):
- Um sistema com duas variáveis pode ser representado por um grupo de linhas em um gráfico bidimensional (geralmente xy), enquanto um sistema com três variáveis é uma coleção de linhas ou planos em um gráfico tridimensional (geralmente xyz).Portanto, um sistema com n muitas variáveis é representado em um gráfico n- dimensional.
- Em um sistema consistente e independente , todos os planos se encontram em um ponto (ou seja, 2 paredes e um piso se encontram em um canto). No sistema consistente e independente usado acima na resposta algébrica, todos os três planos se cruzam no ponto (5,3,2).
- Em um consistente , sistema dependente , todos os planos se encontram não apenas em um ponto, mas em uma linha (isto é, três páginas de um livro que se encontram na lombada). No sistema usado acima na resposta algébrica, todos os três planos se cruzam na linha -5 y + 20 z = 27 (Observe que x pode ser qualquer valor na solução).
- Em um sistema inconsistente , pelo menos dois planos são paralelos e, portanto, nunca se encontram. O terceiro plano pode ser paralelo a ambos os planos (ou seja, linhas de estradas em uma rua) ou pode cruzar os dois, mas nunca no mesmo lugar. (ou seja, paredes opostas em uma sala e o teto).