Melhor resposta
Por que 2 é a potência de 25, não um número quadrado?
Vamos primeiro nos certificar de que sabemos o que é um número quadrado. Um número quadrado é o produto de um número inteiro positivo multiplicado por ele mesmo.
4 é um número quadrado porque 4 = 2 \ times2. 9 é um número quadrado porque 9 = 3 \ times3. 25 é um número quadrado porque 25 = 5 \ times5.
Vamos olhar as potências de 2 e ver quais são números quadrados e quais não são:
2 ^ {2 } = 2 \ times2 = 4 ==> número do quadrado 2 ^ {3} = 2 \ times2 \ times2 = 8 ==> não é um número quadrado 2 ^ {4} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 = 4 \ times4 ==> número quadrado 2 ^ {5} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 32 ==> não é um número quadrado 2 ^ {6} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 64 = 8 \ times8 ==> número quadrado
Um padrão está começando a surgir aqui: Quando o expoente é par, o resultado será um número quadrado. Isso ocorre porque podemos dividi-lo em duas partes iguais: x ^ {\ frac {y} {2}} \ times x ^ {\ frac {y} {2}} = x ^ {y}.
25 é um número ímpar, portanto 2 ^ {25} não pode ser um número quadrado.
Resposta
Porque 25 é ímpar e 2 não é um número quadrado.
Geral:
a ^ {2k} é um número quadrado e sua raiz é um ^ k.
A raiz de um ^ {2k + 1} é um ^ k \ cdot \ sqrt {a} e, portanto, a precisa ser um número quadrado ou a coisa toda é irracional.
Nota para números positivos, você tem a regra:
\ left ( a ^ b \ right) ^ c = a ^ {bc}
É por isso que 9 ^ {25} é um quadrado, é o mesmo que 3 ^ {50} e tem uma raiz de 3 ^ { 25}.