Melhor resposta
3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)
3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)
3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)
Basicamente, você obtém 3 números que são exatamente:
1 de 0mod3, 1 de 1mod3 e 1 de 2mod3
( mas em nenhuma ordem particular)
E 3 divide o resto gerado aqui
se você tiver n inteiros consecutivos, então você tem todos os casos restantes para n (0 a n-1) atribuídos EXATAMENTE uma vez (e, portanto, exclusivamente entre cada inteiro consecutivo) e esta propriedade é universal para todos os números naturais n,
mas acontece que 3 divide 0 + 1 + 2, que é a soma de seus casos restantes. Você vê que 4 não divide 0 + 1 + 2 + 3 = 6, mas 5 divide 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10, mas 6 não divide 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 … Portanto, essa parte claramente não é universal em todos os n.
Este truque funciona apenas para 3 (como 5), pois x | Σr com r abrangendo 1 a x-1 para x = 3 (também x = 5), vá para o topo desta resposta para ver por que apenas os restantes importam e não quantas vezes os números são divisíveis por 3 😃!
Mas a prova mais curta que não se preocupa com “por que chegamos lá tanto quanto chegamos lá ”seria:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)
Resposta
Por que a soma de três inteiros consecutivos é sempre um múltiplo de 3? Como você prova isso usando expressões algébricas?
Deixe os inteiros serem k \ text {,} \ text {} k + 1 \ space \ text {e} \ text {} k + 2 onde k também é um número inteiro.
Adicione-os: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}
\ portanto \ text {} esta soma é um múltiplo de 3 \ text {.}