Melhor resposta
Por definição, existem 360 graus em uma rotação completa; assim, 45 graus é metade da metade da metade de uma rotação completa, ou seja, 1/8 de uma rotação completa.
Pegue um quadrado e desenhe linhas do centro aos cantos e ao pontos médios de cada lado. Isso coloca oito ângulos iguais em torno do centro; assim, esses ângulos são todos de 45 graus.
Também podemos ver que obtemos triângulos retângulos para cada um deles, onde em cada caso as duas pernas desses triângulos retângulos são iguais (metade do tamanho de um lado de o quadrado). Assim, a tangente (no sentido de perna oposta / perna adjacente) de 45 graus é 1.
Resposta
“ O que é tan (45)? ”
Se x é um número racional diferente de zero, então tan x é irracional (provado por Lambert, 1761). Não sei se alguma prova foi desenvolvida, mas tan x deve ser transcendental, embora tenha havido tal prova para seno e cosseno.)
Agora, 45 é um número racional diferente de zero, então tan 45 deve ser irracional.
A forma mais simples de expressão exata para esse valor é tan 45. Você não pode expressá-lo de forma mais simples e fazer com que a expressão represente exatamente 45.
Se você estiver interessado em uma aproximação numérica para ter uma boa noção da magnitude e do sinal do número, nós have: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Para aqueles que afirmam erroneamente em suas respostas que tan 45 = 1, você violou o teorema a que me referi no início. Você violou o teorema ao fazer tal afirmação e, como os teoremas exigem prova de sua correção, qualquer violação de um teorema significa que algo foi feito incorretamente. Neste caso, o erro está supondo que tan 45 significa tan 45 °, se você quiser a tangente (de seno, cosseno, cotangente, secante ou cossecante de um ângulo que é um certo número de graus e você deseja fazer uso de esse número, então é obrigatório que você use o símbolo ° ou multiplique esse número por π / 180. O argumento da função tangente não precisa ter nada a ver com ângulos – pode ser qualquer número real (exceto onde singularidades são geradas como como π / 2) com significado arbitrário. Agora, os ângulos correspondem de fato a números reais – isso não é verdade para comprimentos, durações de tempo etc., mas os ângulos têm essa característica especial. Os ângulos são na verdade quantidades adimensionais, o que significa que podem ser expressos simplesmente como números. Agora, existem diferentes nomes de unidades para ângulos porque muitas vezes é conveniente referir-se facilmente a diferentes tamanhos de ângulos. Cada nome de unidade angular (semicírculo, radiano, grau, arco-minuto, arco-segundo etc.) corresponde a um número valor. Acontece que se você tiver um círculo de raio de 3 me um arco desse círculo com comprimento de 6 m, o ângulo subtendido é (6 m) / (3 m) = 2 (observando que os metros no numerador e denominador se cancelam para produzir apenas um número ), mas 2 de quê. A definição de um radiano é aquele ângulo tal que o comprimento do arco e o raio do círculo são iguais, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Assim, rad = 1/1 = 1. Como rad = 1, nós pode escrever 2 rad = 2 × 1 = 2, portanto, a escrita explícita de rad ao expressar o valor de um ângulo é opcional. Às vezes é muito útil evitar ambigüidade (como distinguir uma frequência angular de 1 rad / s versus uma frequência cíclica de 1 [ciclo] / s = 1 Hz), e insistiremos em incluir o rad para uma comunicação clara, embora é nominalmente opcional; em outros casos, não há ambigüidade e é totalmente normal deixar de fora o rad.
Agora, 180 ° = π rad, duas expressões diferentes se referindo ao ângulo de um arco semicircular. Se dividirmos pelos lados da equação por 180, vemos: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, já que rad = 1. Em outras palavras, o grau também é justo um número, mas seu valor não é 1; portanto, não podemos escrever validamente 45 ° = 45 e apenas descartar descuidadamente o símbolo °. Como ° representa o número π / 180, isso significa 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, o que significa que quando você aplica o significado de °, você acaba com um número diferente – um número que corresponde ao número de radianos, então você está convertendo implicitamente de graus em radianos. Se você escrever apenas 45, isso é igual a 45 × 1 = 45 rad, e não pode significar 45 °. Se você não entender os ângulos e seus valores numéricos dessa forma, não poderíamos fazer coisas como a derivada de sin x em relação a x é cos x ; a expressão precisaria ser um pouco mais confusa – indesejavelmente mais confusa. Muitas contradições e outras coisas estranhas acontecem se você tentar agir como se o grau da unidade angular tivesse valor numérico 1 para que você possa incluí-lo livremente ou evitá-lo.
Infelizmente, os livros didáticos de geometria mais comumente usados nas escolas secundárias agem todos com preguiça e ensinam os alunos a serem indevidamente preguiçosos – sem se incomodar em escrever as unidades de medida quando estão formados. Este erro é geralmente corrigido em livros de álgebra ou trigonometria mais avançados, onde ° é sempre escrito quando os graus são pretendidos, e quando as unidades são deixadas de lado, os radianos são sempre considerados, correspondendo à prática padrão de matemáticos e físicos profissionais. Não sei por que os livros didáticos de geometria insistem em tomar um atalho inaceitável, contrário à prática profissional padrão, porque os professores e alunos ficam frustrados em cursos posteriores ao ter que ensinar e aprender, respectivamente, que o símbolo ° é necessário.