Por que [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] é verdadeiro?


Melhor resposta

A definição de trace como a soma das entradas diagonais de uma matriz é fácil de aprender e fácil de entender. No entanto, não tem (a priori) qualquer interpretação geométrica ou outra boa – parece apenas uma ferramenta de computação. Atacá-la dessa perspectiva basicamente significa que você está preso a provas computacionais de fatos como tr (AB) = tr (BA).

Eles não são “t ruins , per se. Eles são fáceis de entender e certamente o que deve ser mostrado quando alguém está inicialmente aprendendo álgebra linear. Há uma razão mais profunda para explicar por que tr (AB) = tr (BA), mas é bastante abstrato e, em particular, requer o produto tensorial para ser entendido.

Considere o espaço de operadores lineares de vetores espaço V de volta a si mesmo. Se escolhermos um determinado conjunto de coordenadas, esses operadores se parecerão com matrizes quadradas. No entanto, devemos ter como objetivo evitar as coordenadas tanto quanto possível.

Denotamos por V ^ * o espaço dual de V, que é o espaço dos funcionais lineares em V — ou seja, mapas lineares \ lambda de forma que se inserirmos um vetor v, \ lambda (v) é um escalar.

Se tomarmos o produto tensorial V ^ * \ otimes V, ele é isomórfico ao espaço dos operadores lineares V \ rightarrow V. O isomorfismo funciona assim: se w \ in V, então (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

Também podemos descobrir como a composição funciona sob este isomorfismo – -recorde que a composição de mapas lineares é a mesma coisa que multiplicar as matrizes correspondentes.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

portanto,

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Agora, como o rastreamento entrou? Bem, existe um mapa natural de V ^ * \ otimes V para o campo dos escalares que funciona assim: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). O incrível é que, se você resolver tudo em coordenadas, este é o traço.

Isso mostra que o traço, longe de ser uma ferramenta computacional abstrata, é na verdade um mapa natural e fundamental na álgebra linear . Em particular, a análise acima fornece automaticamente uma prova de que tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Mas por que a afirmação mais forte tr (AB) = tr ( BA) é verdade? Bem, vamos calcular os dois.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Por outro lado:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , então AB corresponde ao emparelhamento \ lambda\_1, \ lambda\_2 e v\_1, v\_2 de uma maneira, e BA corresponde a emparelhá-los de outra forma, mas uma vez que fazemos o rastreamento, eles são pareados novamente , e nesse ponto deixa de haver qualquer diferença.

Linda.

Resposta

A prova de \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) é um cálculo simples:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

Não tenho certeza se isso responde à parte “por que” da pergunta, no sentido de “Sim, Vejo que o cálculo funciona, mas por que ? “.

Nem sempre é possível explicar “por que” algo é verdadeiro. Aqui, talvez seja útil observar que AB e BA de fato compartilham muito mais do que o traço: eles têm o mesmo polinômio característico .

Outra observação útil é que se A ou B são não singulares (invertíveis), então AB e BA são matrizes semelhantes, simplesmente porque

AB = B ^ {- 1} (BA ) B.

Matrizes semelhantes têm claramente os mesmos autovalores, portanto, em particular, têm o mesmo traço. Podemos argumentar por continuidade (em campos onde isso faz sentido) para concluir que o mesmo se aplica mesmo no caso singular.

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