Melhor resposta
Devido às próprias definições de \ sin x, \ cos x e \ tan x.
Em um triângulo retângulo com ângulo agudo x, definimos as relações trigonométricas da seguinte forma:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {oposto}} {\ text {hipotenusa} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adjacente}} {\ text {hipotenusa}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {oposto }} {\ text {adjacente}}
Disto obtemos o acrônimo SOH-CAH-TOA
De qualquer forma, se tomarmos a expressão para \ tan xe dividirmos numerador e denominador por \ text {hipotenusa} obtemos:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {oposto} / \ text {hipotenusa}} {\ text {adjacente} / \ text {hipotenusa}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Resposta
Vamos começar com uma imagem (crédito: Triângulo direito – de Wolfram MathWorld )
Vamos nos concentrar no esquerdo, mas o os dois direitos são muito importantes em trigonometria.
Vou usar o con Observe que o ângulo oposto ao lado a é \ alpha e o ângulo oposto ao lado b é \ beta.
Lembre-se: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Agora, vamos dividir o seno pelo cosseno:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Podemos fazer a mesma coisa com \ beta. Em geral, podemos fazer esse mesmo truque com qualquer triângulo retângulo, portanto, deve ser uma propriedade intrínseca das funções trigonométricas. Sabemos o que são seno e cosseno por causa de como os definimos, como essas proporções específicas.