Melhor resposta
Antes de responder à pergunta, faço minhas suposições e convenções. Por número, quero dizer um número real. Usaremos propriedades de campo de números reais como distributividade, identidade aditiva etc. Vamos definir alguns termos:
- a é negativo se a .
- -a denota o inverso aditivo de a.
- ab significa a + (- b).
Sejam aeb dois números negativos. Isto é
a e b .
Então, a \ implica a + (- a) + (- a) \ implica 0 <-a ou -a> 0.
Da mesma forma, podemos mostrar que -b> 0. Portanto,
(-a) (- b)> 0. (- a) \; \; \; \; … \; \; \; \; (1)
Além disso,
0 + 0 = 0 \ implica a. (0 + 0) = a.0 \ implica a.0 + a.0 = a.0 \ implica a.0 = 0
Da mesma forma, (-a) .0 = 0
Portanto, a.0 = (- a) .0 = 0 \;… \; (2)
De (1) e (2),
(-a). (- b)> 0 \; \; \; \; \; … \; \; \; (3)
Temos
(-a). (- b) + (- a) .b = (- a). (- b + b)
= (- a) .0 = 0 De (1) e (2)
\ implica (-a). (- b) = – (- a) .b \; \; \; \;… \; \; \; \; (4)
Além disso,
(-a) .b + ab = (- a + a) .b = 0. b = 0 \ implica ab = – (- a) .b \; \; \; \;… \; \; \; \; (5)
De (3), (4) e (5) temos
ab = (- a) (- b)> 0.
O que era necessário para ser comprovado.
Resposta
Por que você obtém um número positivo ao multiplicar dois números negativos? Eu sei que é verdade, mas por quê? Alguém pode provar isso?
É realmente uma definição. Quando os números negativos foram inventados, a adição e a multiplicação tiveram que ser definidas.
Uma motivação é baseada em aplicativos e você descobre que as definições usuais são exatamente o que você precisa. Por exemplo, um trem expresso está viajando para o norte através de uma estação a 160 km / h. Você pode calcular a distância ao norte da estação em 5 minutos (positivo vezes positivo) ou onde estava 5 minutos atrás (negativo vezes positivo). Outro trem está indo para o sul a 160 km / h. Tratando as distâncias ao sul da estação como negativas, os sinais para velocidades e distâncias são o inverso daqueles para o outro trem. Você deve ser capaz de ver como funcionam as regras para sinais.
A outra motivação é a simplicidade (o que explica parcialmente por que as definições são úteis em aplicativos). É mais simples se as leis que funcionam para números positivos continuarem a funcionar para números negativos.
Uma lei é a lei distributiva a (b + c) = ab + ac.
Se c = -b isso dá 0 = a (bb) = a (b + -b) = ab + a (-b).
Portanto, qualquer valor que a tenha, – (ab) deve ser igual a a (-b).
Se aeb são positivos, isso dá a regra de que um negativo vezes um positivo é negativo.
Vou deixar como um exercício para você ver o que acontece se a for negativo acima. Você também precisará da lei comutativa ab = ba e aplicá-la aos casos com a ou b negativo.