Melhor resposta
Para ser preciso, você não pode pegar a curvatura de um único vetor. Você precisa de um campo vetorial para obter o curl, mais ou menos assim:
O curl é um operador diferencial que pega um campo vetorial tridimensional e cospe para fora outro campo vetorial tridimensional.
Para ter uma ideia do que significa o curl, imagine que temos um campo vetorial que representa a velocidade de um fluido. Ou seja, o fluido preenche algum espaço, e o “campo de velocidade” nos diz qual é a velocidade do fluido em cada ponto naquele espaço. Se tomarmos a curva do campo de velocidade, obteremos um novo campo vetorial que nos diz, grosso modo, como o fluido está girando em cada ponto no espaço. Especificamente, a magnitude do vetor de curvatura informa a força da rotação e a direção indica a direção da rotação de acordo com a regra da mão direita .
No cartesi uma coordenada, o curl pode ser calculado como o produto vetorial do operador del e o campo original: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ parcial F\_z} {\ parcial y} – \ frac {\ parcial F\_y} {\ parcial z}) \ hat {x} + (\ frac {\ parcial F\_x} {\ parcial z} – \ frac {\ parcial F\_z} {\ parcial x}) \ hat {y} + (\ frac {\ parcial F\_y} {\ parcial x} – \ frac {\ parcial F\_x} {\ parcial y}) \ hat {z}
Um dos maiores motivos pelos quais o curl é importante é a decomposição de Helmholtz . Basicamente, tudo que você precisa para caracterizar completamente um campo vetorial é sua divergência e ondulação. Isso é usado com grande efeito, por exemplo, nas equações de Maxwell, que ao especificar a curvatura e a divergência dos campos elétrico e magnético, permitem que você resolva os campos:
Resposta
Diferentes pessoas podem achar diferentes analogias / visualizações úteis, mas aqui está um possível conjunto de” significados físicos “.
Divergência: Imagine um fluido, com o campo vetorial representando a velocidade do fluido em cada ponto no espaço. A divergência mede o fluxo líquido do fluido fora de (isto é, divergindo ) de um determinado ponto. Se o fluido estiver fluindo nesse ponto, a divergência será negativa.
Um ponto ou região com divergência positiva é muitas vezes referido como uma” fonte “(de fluido ou qualquer outra coisa o campo está descrevendo), enquanto um ponto ou região com divergência negativa é um “sumidouro”.
Curl: Vamos voltar ao nosso fluido, com o campo vetorial representando a velocidade do fluido. A onda mede o grau em que o fluido está girando em torno de um determinado ponto, com redemoinhos e tornados sendo exemplos extremos.
Imagine um pequeno pedaço de fluido, pequeno o suficiente para que o cacho seja mais ou menos constante dentro dele. Você também se encolheu muito e é informado de que precisa dar uma volta ao redor do perímetro daquele pedaço de fluido. Você escolhe nadar no sentido horário ou anti-horário? Se a curvatura da velocidade for zero, então não importa. Mas, se for diferente de zero, então em uma direção você estaria indo principalmente com a corrente e na outra direção você “estaria indo principalmente contra a corrente e, portanto, sua escolha de direção seria importante. O sinal do curl dirá qual é a escolha certa.
Gradiente: Embora seja perfeitamente válido pegar o gradiente de um campo vetorial, o resultado é um tensor de classificação 2 (como uma matriz) e, portanto, é mais difícil de explicar em termos intuitivos (embora talvez outra pessoa o controle). Então, em vez disso, falarei sobre o gradiente de um campo escalar : especificamente, o campo que fornece a elevação do solo acima do nível do mar em um determinado ponto na Terra (especificado, digamos, em termos de latitude e longitude).
Nessa situação, o gradiente é na verdade bastante simples: ele aponta “para cima” (na direção mais íngreme), e a magnitude indica você como isso é íngreme. Por exemplo, se o gradiente apontar para o nordeste com uma magnitude de 0,2, então a direção da subida mais íngreme é o nordeste, e cada metro que você viajar para nordeste resultará em 0,2 metros de ganho de elevação.
Para o gradiente de um campo vetorial, você pode pensar nele como o gradiente de cada componente desse campo vetorial individualmente, cada um dos quais é um escalar.