Melhor resposta
A derivada “substancial”, também chamada de derivada “total” ou derivado “convectivo”, não é realmente um derivado diferente, mas sim um derivado de uma função diferente .
Seja \ lambda (x, t) uma dada função de espaço e tempo. A diferenciação de \ lambda com respeito ao tempo, mantendo a variável de espaço fixa, produz a derivada de tempo parcial usual. Agora considere uma “função composta” g (t) = \ lambda (X (t), t), ou seja, avaliamos \ lambda ao longo das curvas X (t) no espaço traçadas por uma variável escalar t. A derivada de g é a derivada substancial (total, convectiva) de \ lambda. Assim, a derivada substancial é a derivada da composição das funções \ lambda e X.
Resposta
Na 6ª edição de Anderson de Fundamentals of Aerodynamics, ele explica a derivada total com um exemplo físico. A derivada total tem um termo convectivo (com a nábula ponto V) e um termo de tempo (com respeito parcial at). Aqui está o exemplo físico.
Você está em uma caminhada e tropeçar em uma caverna. Você decide entrar na caverna, mas assim que entra na caverna legal, seu amigo acerta você no rosto com uma bola de neve. Assim, você sente duas fontes de frio. A primeira é de sua mudança de localização – movendo-se para a caverna. A segunda é do seu amigo acertando você com a bola de neve naquele instante.
Portanto, a temperatura é a variável da qual estamos tomando a derivada total, e a caverna fornece o termo convectivo, e a bola de neve forma o tempo termo.
É frequentemente usado em aerodinâmica, pois consideramos um elemento fluido se movendo em um fluxo (pense em um pequeno volume que você rastreia). A derivada substancial nos fala sobre esse elemento em movimento . Se não estivesse se movendo, você poderia substituir a derivada substancial apenas com a parcial em relação ao tempo. Mas, como a partícula está se movendo, o termo convectivo é responsável pela alteração da propriedade entre os locais.