Melhor resposta
É difícil escolher uma, então deixarei que você escolha 🙂
- identidade de Euler
A equação combina cinco dos números mais importantes da matemática . Estes são:
- 1 – a base de todos os outros números
- 0 – o conceito de nada
- pi – o número que define um círculo
- e – o número que fundamenta o crescimento exponencial
- i – a raiz quadrada “imaginária” de -1
2. Equação de campo de Einstein ( resumo das dez equações)
O físico John Wheeler resumiu de forma sucinta: “O espaço-tempo diz à matéria como se mover ; a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar. “
A equação de Einstein pode nos dizer como nosso universo mudou ao longo do tempo e oferece vislumbres do primeiro momento s da criação. Não é nenhuma surpresa que seja o favorito de muitos cientistas.
3. Equação de onda
A equação de onda descreve como as ondas se propagam. Aplica-se a todos os tipos de ondas, desde ondas de água a sons e vibrações, e até ondas de luz e rádio.
É um poster da ideia de que os princípios matemáticos se desenvolveram numa área ou para si próprios causa, pode ter aplicações vitais em outras áreas. Sua beleza vem da combinação desses atributos: elegância, surpresa, profundidade intelectual, utilidade.
4. O mapa logístico
O mapa logístico é um dos exemplos clássicos da teoria do caos.
Ele pode ser resumido da seguinte forma: grande complexidade pode surgir de regras muito simples.
A equação pode ser usada para modelar muitos processos naturais, por exemplo, como uma população de animais cresce e diminui com o tempo.
O modo como a população se comporta é extremamente sensível ao valor de r, de maneiras contra-intuitivas. Se r estiver entre 0 e 1, a população sempre morrerá, mas se estiver entre 1 e 3, a população se aproximará de um valor fixo – e se estiver acima de 3,56995, a população se torna extremamente imprevisível.
Esses comportamentos são descritos como “caóticos” pelos matemáticos e não são o que esperaríamos instintivamente. Mas todos eles emergem de uma equação que é matematicamente muito simples.
É isso, por enquanto.
Se você acha que eu esqueci alguma equação, por favor me diga, eu ” Vou adicioná-lo na resposta 🙂
Resposta
Estou vendo muitos problemas básicos de computação envolvendo PEMDAS postados aqui, mas isso é matemática elementar que tenho certeza 99\% das pessoas que pensam que são realmente boas em matemática podem acertar. Também notei a equação de Bob Hock, que é muito criativa, mas não acredito que seja tão difícil de provar.
O problema que estou postando aqui é o 2006 AIME II Problema 15, que parece muito complicado, mas se decompõe em algo bastante simples por meio de uma relação criativa:
Dado que x, y e z são números reais que satisfazem
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
e que x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, onde m e n são inteiros positivos en é não divisível pelo quadrado de nenhum primo, encontre m + n
À primeira vista, estamos resolvendo um problema de álgebra em que precisamos encontrar a soma. Um primeiro pensamento poderia ser elevar ao quadrado as equações para eliminar as raízes quadradas até certo ponto, mas esse método é claramente confuso.
Percebendo que não precisamos resolver para cada um de x, y , z separadamente e só precisam de sua soma, podemos considerar a adição das três equações fornecidas, o que dá
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Temos o que temos precisa de um lado, mas do outro lado não parece que nada será cancelado, então isso não parece certo.
Uma terceira ideia seria fatorar a expressão dentro das raízes quadradas usando a diferença dos quadrados uma vez que as frações fornecidas são todos quadrados perfeitos. Isso resulta em
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
etc, mas mesmo assim, não há um caminho claro para manipular os fatores de qualquer maneira útil. Em suma, podemos tentar resolver para uma variável de cada vez, mas não há uma maneira clara de fazer isso.
Acontece que a melhor solução para esse problema é pensar geometricamente. Lembre-se do teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo com pernas a, b e hipotenusa c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Podemos manipular isso para obter a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Esta é exatamente a forma dos termos no RHS das equações.
Se desenharmos um triângulo de acordo com esta realização, a partir da primeira equação podemos formar dois triângulos retângulos com altura \ frac {1} {4} e com hipotenusa y e z. x é igual à soma do terceiro comprimento de cada triângulo retângulo. Se deixarmos a altura dos triângulos retângulos ser o mesmo segmento de linha de comprimento \ frac {1} {4}, formamos um triângulo maior com comprimentos laterais x, y, z e altura de \ frac {1} {4} no lado x.
Continuando com a mesma ideia para a segunda e terceira equações, chegamos que a altura do triângulo nos lados y e z são \ frac {1} {5} e \ frac {1} {6}, respectivamente. Da equação de área de um triângulo, podemos obter
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {e} y = \ frac {5} {6} z
Além disso, da fórmula de Heron , obtemos
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Substituindo em z das outras fórmulas de área, isso simplifica para
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Assim,
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
então m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}