Melhor resposta
cos (3x) = 4cos ^ 3 (x) – 3cos (x)
Aqui estão alguns resultados importantes.
- Identidades pitagóricas sin 2X + cos 2X = 1 1 + tan 2X = sec 2X 1 + cot 2X = csc 2X
- Identidades de ângulo negativo sin (-X) = – sen X, função ímpar csc (-X) = – csc X, função ímpar cos (-X) = cos X, par função sec (-X) = sec X, função par tan (-X) = – tan X, função ímpar cot (-X) = – cot X, função ímpar
- Cofunções Identidades sin (π / 2 – X) = cos X cos (π / 2 – X) = sen X tan (π / 2 – X) = cot X cot (π / 2 – X) = tan X sec (π / 2 – X) = csc X csc (π / 2 – X) = sec X
- Fórmulas de adição cos (X + Y) = cos X cos Y – sen X sen Y cos (X – Y) = cos X cos Y + sen X sin Y sin (X + Y) = sin X cos Y + cos X sin Y sin (X – Y) = sin X acolhedor – cos X sin Y tan (X + Y) = [tan X + tan Y] / [1 – tan X tan Y] tan (X – Y) = [tan X – tan Y] / [1 + tan X tan Y] berço (X + Y) = [berço X berço Y – 1] / [berço X + cot Y] cot (X – Y) = [cot X cot Y + 1] / [cot Y – cot X]
- Soma para as fórmulas do produto
cos X + cos Y = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X – Y) / 2]
sen X + sen Y = 2sin [(X + Y) / 2] cos [ (X – Y) / 2]
- Diferença para fórmulas de produto cos X – cos Y = – 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2] sin X – sin Y = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2]
- Produto para Soma / Fórmulas de Diferença cos X cos Y = (1/2) [cos (X – Y) + cos (X + Y)] sen X cos Y = (1/2) [sen (X + Y) + sen (X – Y)] cos X sen Y = (1/2) [sin (X + Y) – sin [(X – Y)] sin X sin Y = (1/2) [cos (X – Y) – cos (X + Y)]
- Diferença de fórmulas quadradas sin 2X – sin 2Y = sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – cos 2Y = – sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – sin 2Y = cos (X + Y) cos (X – Y)
- Fórmulas de ângulo duplo sin (2X) = 2 sen X cos X cos (2X) = 1 – 2sin 2X = 2cos 2X – 1 tan (2X) = 2tan X / [1 – tan 2X]
- Fórmulas de múltiplos ângulos
- sin (3X) = 3sin X – 4sin 3X cos (3X) = 4cos 3X – 3cos X sin (4X) = 4sin X cos X – 8sin 3X cos X cos (4X) = 8cos 4X – 8cos 2X + 1
- Fórmulas de meio ângulo sin (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / 2] cos (X / 2) = ± √ [(1 + cos X) / 2] tan (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / (1 + cos X)] = sin X / (1 + cos X) = (1 – cos X) / sen X
- Fórmulas de redução de potência sen 2X = 1/2 – (1/2) cos (2X)) cos 2X = 1/2 + (1 / 2) cos (2X)) sen 3X = (3/4) sen X – (1/4) sen (3X) cos 3X = (3/4) cos X + (1/4) cos (3X) sen 4X = (3/8) – (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) cos 4X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) sen 5X = (5/8) sen X – (5/16) sen (3X) + (1/16) sen (5X) cos 5X = (5/8) cos X + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X) sen 6X = 5/16 – (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) – (1/32) cos (6X) cos 6X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X) ·
- Funções trigonométricas Periodicidade sin (X + 2π) = sen X, período 2π cos (X + 2π) = cos X, período 2π sec (X + 2π) = sec X, período 2π csc (X + 2π) = csc X, período 2π tan (X + π) = tan X, período π cot (X + π) = cot X, período π
Espero que isso aconteça ajuda
Resposta
Que tal dois coelhos com uma cajadada só? Também encontrarei a fórmula para \ sin {3x}!
Lembre-se do Teorema de De Moivre:
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ n = \ cos {(n \ theta)} + i \ sin {(n \ theta)}
Então,
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3 = \ cos {(3 \ theta)} + i \ sin {(3 \ theta)}
Expandindo o LHS usando o Teorema Binomial
( \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3
= (\ cos {\ theta}) ^ 3 + 3 (\ cos {\ theta}) ^ 2 (i \ sin {\ theta}) + 3 (\ cos {\ theta}) (i \ sin {\ theta}) ^ 2 + (i \ sin {\ theta}) ^ 3
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i \ cos ^ 2 {\ theta} \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} \ sin ^ 2 {\ theta} – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (1 – \ sin ^ 2 {\ theta}) \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} (1 – \ cos ^ 2 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (\ sin {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta}) – 3 (\ cos {\ theta} – \ cos ^ 3 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta } + 3 \ cos ^ 3 {\ theta} + i (3 \ sin {\ theta} – 3 \ sin ^ 3 {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta})
= 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} + i (-4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta})
Comparando o real e partes imaginárias do LHS e RHS, obtemos:
\ boxed {\ boxed {\ cos {(3 \ theta)} = 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta}}}
\ boxed {\ boxed {\ sin {(3 \ theta)} = -4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta}}}