Melhor resposta
Infelizmente, não existe um método simples. No entanto, existem padrões para seus dígitos finais, embora esse seja um tópico diferente.
Aqui está a fórmula de qualquer maneira: Soma fatorial – de Wolfram MathWorld
=
onde
é a integral exponencial ,
é a parte real de z,
é a função gama e i é o número imaginário .
Resposta
O truque para problemas com números assustadores como este é t para encontrar padrões.
Primeiro, precisamos nos livrar de todos aqueles números horríveis envolvidos em fatoriais e expoentes gigantes. Como estamos apenas olhando para o último dígito, qualquer dígito além dele (dezenas, centenas, etc.) não o afetará. (É porque todos os valores dos outros dígitos são todos múltiplos de 10, mas como 10> 1 e cada múltiplo de 10 termina em 0, isso não afeta o dígito das unidades.)
Nossa melhor aposta é para começar a encontrar o dígito das unidades desse número sem o expoente (apenas a base). Como os primeiros fatoriais são fáceis de calcular, nós o fazemos. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320… .Por que eles continuam terminando em zero?
É por causa da fatoração primária . Como você sabe, 10 = 5 \ cdot 2. Se a fatoração principal de qualquer coisa tem um 5 e um 2, então é um múltiplo de dez (pela Propriedade Distributiva). Como o último dígito de um número na base dez (o que usamos) é basicamente a parte que não é divisível por 10, em múltiplos de 10 é 0.
Agora, examinamos os fatoriais novamente .
1 = 1
2 = 1 * 2
3 = 1 * 2 * 3
4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3
5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5
Já que o fatorial de qualquer coisa maior que 5 será um múltiplo de 5 !, você sabe que terá um 2 e um 5 em sua fatoração principal, então todos terminam em 0. Hooray! Agora só precisamos olhar para 1 !, 2 !, 3! E 4 !. Como já calculamos, a soma deles é 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, cujo último dígito termina em 3.
Agora, nosso problema é 3 ^ 33. Tentamos procurar padrões novamente. Vejamos algumas potências de 3!
3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….
Hmmmm. É um ciclo: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 … (Nota: Não sei por que isso acontece. Alguém me diga por favor!) E cada expoente que é múltiplo de 4 leva a um terminando em 1, como você pode ver. 32 é um múltiplo de 4, então 3 ^ 32 termina em 1. Agora, simplesmente olhamos para o próximo número no ciclo: 3! Portanto, termina em 3.