Melhor resposta
A derivação desta soma é semelhante à de
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Let
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Visto que a adição é comutativa, podemos escrever S ao contrário, assim
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Adicionando esses dois representações termo a termo nos dá
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ pontos (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n vezes}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
A partir daqui, obviamente segue que
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Este é um resultado conhecido que pode ser comprovado por indução, o que irei em frente e farei agora. Para fazer isso, devemos mostrar que
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Observação: eu uso H\_ {0} como uma referência abreviada para a declaração de hipótese)
Para mostrar que H\_ { 0} vale por indução, devemos mostrar que a igualdade vale para o caso base, n = 1, e o caso de indução, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. O caso básico é óbvio, pois 1 = 1 ^ {2} = 1, o que nos deixa com o caso de indução.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vemos que a igualdade é válida para k + 1, portanto provando que H\_ {0} é realmente verdade. Assim, podemos definitivamente afirmar que nossa derivação de (6) é de fato correta.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Resposta
Vamos dar uma olhada e ver. Qualquer um pode pelo menos observar as primeiras instâncias, certo?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Agora, você reconhece os números à direita?
1,4,9,16,25, \ ldots
Sim! Aqueles são os quadrados perfeitos. 1 \ vezes 1, 2 \ vezes 2, 3 \ vezes 3, 4 \ vezes 4 e assim por diante.
Agora temos uma conjectura. Vamos testá-la:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Sim! Os seis menores números ímpares somam 6 ^ 2, exatamente como havíamos previsto. Você pode tentar mais alguns: funciona.
Se somos físicos, paramos por aqui. Fizemos uma observação, formamos uma hipótese, testamos nossa hipótese experimentalmente uma, duas e cem vezes, sempre funciona, pronto. Nossa teoria está correta até que um experimento a refute.
Mas nós somos matemáticos, não somos? Exigimos provas. E há muitas provas rigorosas desse pequeno fato.
Mas também há uma prova visual cristalina. Aqui está:
EDITAR: muitas pessoas pediram uma prova rigorosa. Aqui “uma prova relativamente simples que pode ser derivada desta prova visual.
Notamos que os números ímpares são apenas as diferenças entre quadrados consecutivos, assim:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
e assim por diante. Portanto, quando os somamos, tudo se cancela, exceto o último quadrado:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Então, agora vamos escrever isso formalmente para qualquer número ímpar sendo adicionado. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
e, portanto, a soma dos primeiros n números ímpares, que é
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
é igual a
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED