Melhor resposta
Podemos abordar isso geometricamente. Existem três soluções, são elas: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° e 1 / \_240 ° na forma polar. Precisamos considerar o domínio dos números complexos. (no momento não posso fornecer diagramas, então peço desculpas). Usar caneta e papel ao ler esta resposta seria muito útil.
Nota: “/ \_” representa “ângulo”. O ângulo é medido no sentido anti-horário em relação ao eixo real positivo (eixo x positivo). Além disso, 0 ° é igual a 360 °, 720 ° e assim por diante. Qualquer ângulo θ é igual a θ + 360 °.
Geometricamente, se representarmos 1 em um plano complexo como 1 + 0i (1,0); isso é igual a 1 / \_ 0 ° ou 1 / \_360 ° na forma polar. Poderíamos desenhar um círculo unitário com o centro na origem 0,0. Dividindo o círculo unitário de 360 ° (ou 2π radianos) em 3 partes iguais, obtemos as três raízes necessárias.
A primeira raiz em 1 / \_0 ° ou / \_360 °. [Se eu fizer 3 revoluções completas (360 °) de (1,0) no sentido anti-horário (multiplique por si mesmo três vezes ou ao cubo), chego ao mesmo ponto: 1 / \_0 °. Observe também: Se eu fizer 3 “sem revoluções” (0 °). Eu também chego ao mesmo ponto!]
Para as outras duas raízes:
- A partir de 1 / \_0 °, se eu fizer 1/3 (um terço ou 120 °) de revolução no sentido anti-horário (um multiplicado por 1 / \_120 °), chego a 1 / \_120 °, que é a segunda raiz. Se eu fizer mais dois 1/3 de rotação a partir daí, chego a 1 / \_360 °, ou seja, 1 / \_ 0 ° novamente. (então eu fiz três rotações de 1/3 ou 120 °, ou fiz cubagem). Portanto, o cubo de 1 / \_120 ° também é 1.
- Partindo de 1 / \_0 °, se eu fizer 2/3 (240 °) de revolução, chego a 1 / \_240 ° que é o terceira raiz, se eu fizer mais 2/3 de revolução, chego a 1 / \_480 ° ou seja, a 1 / \_120 ° e ainda com mais 2/3 de uma revolução, chego a 1 / \_720 ° ou seja, de volta a 1 / \_0 °. então fiz três revoluções de 2/3 ou 240 °, ou fiz cubagem). Portanto, o cubo de 1 / \_240 ° também é 1.
As raízes são 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. separados por 120 ° igualmente no círculo unitário.
Você pode converter os valores para a forma retangular e ver que as respostas são as mesmas que as fornecidas por outros.
Em geral, para obter o Na raiz enésima, dividimos o círculo unitário em n partes iguais, ou ângulos igualmente espaçados de 360 / n °, e as raízes ficam no limite externo do círculo. Assim, como 360/5 = 72 °, as 5ª raízes da unidade são: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Resposta
Seja z como z ^ 3 = 1
o passo chave, não tire a raiz cúbica de ambos os lados, senão você perderá 2 raízes. Em vez disso, reescreva a equação como:
z ^ 3–1 = 0
fator lado esquerdo
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 tem 2 raízes complexas:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)