Melhor resposta
Como já foi dito em outras respostas, √243 é 9√3.
3 ^ 5 = 3 ^ 4 • 3 = (3 ^ 2) ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • (√3) ^ 2 = (9√3) ^ 2
portanto, o número ao quadrado igual a 243 é o número irracional que gosto de escrever como 9√3. Isso é o que chamo de “simplificado” ou na “forma mais simples”.
Se eu quiser simplificar uma raiz quadrada (ou uma raiz cúbica, ou …), começo encontrando a “fatoração principal” do número sob a raiz.
Para a fatoração primo de um número, eu começo dividindo serialmente por divisores de números primos em ordem até que o resultado final seja 1. Obviamente, o número é o produto de todos os números I dividido por.
Quando vejo 243, percebo que é um número ímpar.
Como não é par, não vou dividi-lo pelo menor número primo: 2 .
O próximo menor número primo é 3, e percebo que 243 é divisível por 3 (e também por 9) porque a soma de seus dígitos é um múltiplo de 3 e 9.
243 ÷ 3 = 81, então 243 = 81 * 3.
Nesse ponto, eu reconheço 81 como 9 • 9 ou como 3 • 3 • 3 • 3 = 3 ^ 4, e sei que 243 = 81 • 3 = 3 ^ 4 • 3 = 3 ^ 5.
Se eu precisasse para um número diferente de 243, ou se eu tivesse que “mostrar meu trabalho” para alguém insistindo que eu o fizesse ,
Eu continuaria dividindo por 3 enquanto Eu poderia obter um resultado inteiro e, em seguida, continuaria dividindo por qualquer número primo que funcionasse, tentando 3, 5, 7, 11, 13, 19, até chegar a um número primo que quando ao quadrado era maior do que o número que estou tentando dividir. Por exemplo, se desde o início, ou depois de algumas divisões, eu tenho que encontrar algo que divide 101, depois de tentar 2, 3, 5 e 7, e descobrir que nenhum deles divide 101, eu veria que 101 ao quadrado é 121 . Como esse quadrado é maior do que 101, eu não tentaria dividir por 11, 13 ou 19, concluirei que o único número primo que o divide é 101, divida 101 por 101 e pronto.
Resposta
A raiz quadrada de 243 é o número não negativo que, quando elevado ao quadrado, dá 243. É isso que é, a partir da definição da raiz quadrada. (Simbolicamente, dizemos que \ sqrt {a} é o número não negativo x que satisfaz x ^ 2 = a.)
É um pouco maior que 15 (cujo quadrado é 225) e um pouco menor de 16 (cujo quadrado é 256).
Fatorar 243, como feito na resposta de Bijay Shah a esta pergunta, nos dá que 243 = 3 ^ 5, então \ sqrt {243} = 3 ^ \ frac52 = 9 \ sqrt {3}. Como \ sqrt {3} \ approx1.7, isso é consistente com o que vimos acima.
Como 243 não está nem nas potências de todos os seus fatores primos, sua raiz quadrada é irracional e, portanto, não existe nenhuma representação decimal finita da raiz quadrada. É útil saber que um número não é sua representação decimal; as representações de números normalmente não são únicas.