Melhor resposta
Como muitos já responderam corretamente, o cosseno do infinito não tem valor. Mas é pior. É o pior possível.
Funções complexas
As funções trigonométricas, incluindo cosseno, geralmente são vistos como funções que recebem números reais como argumentos, mas podem ser estendidos para serem funções complexas. Você pode fazer isso para o cosseno usando esta definição de série de potências
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Isso torna o cosseno definido em todo o plano complexo \ mathbf C.
Por estendendo funções para argumentos complexos, você pode entendê-los de maneiras que não pode quando apenas argumentos reais são usados. Essa é a força da análise complexa.
Os números complexos estendidos \ overline {\ mathbf C}
Considere o função muito mais simples f (z) = 1 / z. É definido para todos os números complexos, exceto z = 0. Parece ter um valor infinito em z = 0, e há uma maneira de formalizar esse conceito. Estenda os números complexos por um elemento, denotado como \ infty, para obter o que às vezes é chamado de plano complexo fechado ou esfera de Riemann, \ overline {\ mathbf C}. Com isso você pode definir 1/0 = \ infty e 1 / \ infty = 0 para que esta função f (z) = 1 / z seja definida em \ overline {\ mathbf C}. Na verdade, dá uma bijeção \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
O que acontece quando você tenta isso com a função tangente \ tan z? Algumas coisas boas acontecem. Enquanto para números reais, \ tan \ pi / 2 não é definido, para \ overline {\ mathbf C} é definido, e de fato \ tan \ pi / 2 = \ infty. A singularidade para \ tan z em z = \ pi / 2 é como a singularidade para 1 / z em z = 0.
Essas duas funções, 1 / z e \ tan z, têm pólos , ou seja, assumem o valor \ infty. A função 1 / z tem um pólo em z = 0. A função \ tan z tem infinitamente muitos pólos, um para cada valor de z igual a \ pi / 2 mais um múltiplo integral de \ pi.
Cosseno de \ infty
É hora de voltar a \ cos \ infty.
Considere a função f (z) = \ cos (1 / z). Pedir o cosseno de \ infty é o mesmo que pedir f (0), já que em \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. Ao contrário dos pólos das funções 1 / z e \ tan z mencionadas acima, esta função tem o que é chamado de singularidade essencial. Arbitrariamente perto de z = 0, a função f (z) = \ cos (1 / z) assume todos os números complexos infinitamente muitas vezes. Isso significa que \ cos z tem uma singularidade essencial em z = \ infty. É o pior que pode ser.
Resposta
Não é igual a nada. Cos (infinito) é indeterminado porque seno cosseno e tangente, bem como inversos (secante, cossecante e cotangente), são derivados do círculo unitário.
cosseno é o eixo x, e seno é o eixo y. Isso cria um triângulo retângulo. O círculo unitário é centralizado na origem. E esse triângulo retângulo que é “criado”, o comprimento das pernas é de onde elas são derivadas.
Para coisas como 390 graus, ele se move mais de uma vez, e o ângulo é avaliado como se fosse apenas passou de 0 graus para onde terminou, que é menos de 360. Isso é basicamente apenas módulo.
A expressão que pode representar isso é n mod 360 (ou para ciência da computação, n\% 360), onde n é o ângulo.
Então, para o mod 360 do infinito, não posso ter uma resposta porque o infinito está aumentando constantemente. então, tecnicamente, pode ser qualquer coisa. O infinito não é um número, é um conceito. O conceito de não ter fim. Portanto, usar o infinito como um número é apenas ter um valor que está, em certo sentido, sempre aumentando. Isso simplifica um pouco, já que não está realmente aumentando, é mais como assumir que há um fim quando não há, a lista de números não tem fim. Seu valor é ilimitado. É por isso que usamos limites quando lidamos com o infinito. Embora o infinito como um número esteja basicamente usando limites, não podemos dizer que 1 / infinito é zero, uma vez que o infinito só está aumentando constantemente em valor, não é perguntar para o que está convergindo. Embora esteja convergindo para zero, nunca será zero. O mais próximo que estará de zero é, 1 – 0,999 …, que embora 0,999 … tenha sido dito ser igual a 1, não é. Logicamente, não é e não pode ser. Se aceitarmos isso, então podemos facilmente dizer que 1 = 2 e qualquer n é igual a qualquer m (n = m).
De volta à pergunta original, se você olhar para um gráfico para cos (x), você verá que ele oscila para cima e para baixo continuamente indo de 1 a -1. Então, conforme vai para o infinito, nunca vai convergir, e cos (infinito) sempre vai alternar entre 1 e -1. A escolha de qualquer valor entre esses não será infinito, pois seu valor está sempre crescendo.
Então, em conclusão, cos (infinito) é indeterminado.