Qual é a soma das raízes quadradas do primeiro n número natural?

Melhor resposta

Acho que o valor desta soma (que é denotado por) \; \; S \; \; é aproximadamente \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Pode ser justificado da seguinte forma:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; dá a área sob a curva \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Eixo X e as ordenadas em \; \; x \; = \; 1 \; \; e \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)

A soma necessária \; \; S (n) \; \; pode ser interpretada como a área de \; \; n \; \; barras verticais retangulares de largura \; \; 1 \; \; de altura \; \; \ sqrt {j} \; \; erigidas no eixo \; \; X – \; \; onde \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (os lados verticais do \; \; j ^ {th} \; \; retângulo são partes das ordenadas em \; \; x = j \; \; e \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Para obter uma boa aproximação, temos que subtrair o termo de erro \; \; E (n) \; = \; a área entre a curva e as barras retangulares, de (1).

Observe que \; \; E (n) \; \ aprox \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Na simplificação, obtemos \; \; S (n) \; \ aproximadamente \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Grande (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;