Melhor resposta
Existem 2 respostas que podemos encontrar aqui para esta pergunta.
- -1/12
- Infinito
Claramente, \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n diverge. Mas então por que algumas pessoas respondem -1/12? Porque ambos estão corretos.
Este é um dos exemplos mais simples de um conceito crucial para a compreensão das teorias físicas, a regularização. O número -1/12, aparentemente absurdo, contém uma interpretação física na chamada energia de Casimir.
Freqüentemente, quando tentamos calcular quantidades físicas em teorias quânticas, obtemos o infinito. Nesse ponto, podemos simplesmente descartar a resposta, mas isso não nos levaria a lugar nenhum. Alternativamente, podemos tentar entender isso. Para fazer isso, tentamos extrair uma resposta finita do infinito. Este processo é denominado regularização. Pode haver muitas maneiras de regularizar sistematicamente uma série divergente (ou integral), mas o ponto importante é que todos esses métodos dariam o mesmo resultado finito. Em particular, a soma acima sempre nos daria -1/12. Isso por si só sugere que -1/12 não é totalmente absurdo.
A discussão a seguir é derivada principalmente da Seção 4.1 de Birrel e Davies – Quantum Fields in Curved Space. Apresentarei a essência da discussão.
Suponha que consideremos um campo escalar sem massa em 2 dimensões (uma direção no tempo e uma no espaço). Um campo escalar sem massa é muito parecido com o campo eletromagnético, mas muito mais simples. Além disso, vamos restringir o campo escalar em um círculo de circunferência L. Agora definimos um sistema quântico e podemos tentar calcular várias quantidades, incluindo a energia do estado mínimo / fundamental desse sistema. A energia do estado fundamental acaba sendo E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Agora podemos regularizar esta integral e obter E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). O ponto importante é que isso é exatamente o que obteremos se tentarmos calcular a diferença entre a energia do estado fundamental deste sistema e outro sistema semelhante, onde o campo escalar é restrito a uma linha de comprimento infinito (que está essencialmente tomando a circunferência de o círculo seja infinito). Claramente, essa energia regularizada é uma quantidade física e de fato pode ser medida em laboratório.
Concluímos que a declaração \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 não é nulo.
Editar:
A seguir está uma maneira de regularizar a soma.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
O limite acima diverge, como esperado , mas pode ser escrito da seguinte forma
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
É assim que recuperamos uma parte finita regularizada da soma divergente. A maneira de regularizar a soma não é de forma alguma única, mas a parte finita da soma é sempre -1/12.
Resposta
O que queremos dizer com “é” ou “igualdade”? Essa é a pergunta que está por trás da confusão sobre a soma de todos os números naturais.
Soma finita
Nós não “t tenho um problema com somas finitas:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
está perfeitamente bem definido para qualquer sequência de a\_i \ in \ mathbb R. Graças à comutatividade e associatividade da adição, ela nem mesmo depende de a ordem do a\_i: você pode embaralhar a sequência em qualquer permutação sem afetar o resultado.
Série infinita
Quando chegamos às sequências infinitas, (a\_i), no entanto, o que a soma infinita significa? O que é isso?
O mais simples, mais seguro e padrão o significado é um limite de somas finitas. Essa é a definição de uma soma infinita é
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Quando esta série converge absolutamente , tudo está bem e elegante. Você pode:
- confiar no resultado;
- embaralhar a ordem dos termos;
- adicionar ou subtrair duas dessas séries; e até
- troque a ordem de duas somas aninhadas.
Mas se a série for divergente ou apenas condicionalmente convergente o valor:
- pode não existir;
- pode depender do pedido; ou
- pode exigir métodos sofisticados para definir
e você não pode nem manipular termos de a sequência nem adiciona / subtrai duas dessas sequências.
Esse é o caso da soma dos números naturais, onde
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Isso diverge claramente para + \ infty como n \ para \ infty, então o valor padrão padrão não existe. E isso é o mais longe que a maioria das pessoas deve ir.
Métodos extravagantes
Se você não fizer isso totalmente, mesmo intimamente, entenda o significado preciso de tudo o que está acima, você certamente não deve passar para métodos sofisticados. Da mesma forma, você deve tratar qualquer pessoa que manipula sequências não absolutamente convergentes como se estivessem se dividindo por zero: os resultados são igualmente confiáveis.
Há uma série infinita perfeitamente respeitável chamada Série Dirichlet :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Se os (a\_n) são limitados, esta série converge absolutamente para qualquer s \ in \ mathbb C cuja parte Real seja estritamente maior que um, \ Re (s)> 1. Para \ Re (s) \ leq1 estamos em terreno menos sólido…
Continuação analítica
Visto que f ( s) é uma função analítica definida no semiplano aberto com \ Re (s)> 1, tem uma continuação analítica para o resto do plano complexo. A continuação quando todos os a\_n são um, f\_1 (s), é a Função Riemann Zeta :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
onde \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x é a função Gamma , uma extensão analítica da função fatorial.
Para \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Para s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb não converge
Se agora você deseja fazer algo chamado regularização da função zeta , você poderia afirmar
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
mas note que você está brincando com o que “igualdade” significa e o que um somatório “é”.
Tudo bem, mas se você chegou até aqui, terá notado o quanto precisa saiba entender o que você está fazendo. Muito mais do que você normalmente obtém em um vídeo do Numberphile …