Melhor resposta
“A soma de todos os números reais” não é definida na matemática convencional e não tenho certeza que poderia ser definido sem causar problemas sérios.
O primeiro problema é que o conjunto de todos os números reais é um conjunto incontável, ou seja, não pode ser colocado em uma relação um-para-um com a contagem números (ou seja, 1, 2, 3, 4, etc.) Não existe uma definição convencional da soma dos membros de um conjunto incontável, mas existe da soma dos membros de alguns conjuntos contáveis.
Suponha que você tenha um conjunto contável {x1, x2, x3,…. xn,…}. Você pode definir uma soma parcial Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, ou seja, a soma dos primeiros n termos. Para garantir que nada saia errado se você reordenar o conjunto, você pode definir uma soma parcial positiva Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Se o limite (conforme n vai ao infinito) da série Pn existe, então o limite da série Sn também existe (mas não é o mesmo que o limite de Pn a menos que todos os xn sejam não negativos). Isso significa que você pode dizer que a soma de todos os números em nosso conjunto contável é o limite da série Sn.
Então, se o conjunto for {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, você tem uma série bem convergente e a soma dos membros do conjunto é 1. No entanto, se você tiver todos os inteiros (positivo e negativo), você tem um conjunto contável {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, mas as somas parciais não convergem – são 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Essa falta de convergência dos inteiros ocorre apesar do fato de que todo inteiro positivo n tem um inteiro negativo correspondente, então você pensaria que eles se cancelam. No entanto, eles não cancelam a cada soma parcial alternativa e não cancelam se você pegar o conjunto em uma ordem diferente, por exemplo, {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Os números reais são piores, porque não existe uma definição de soma do conjunto, visto que é incontáveis, e mesmo se houvesse um, mudar a ordem em que você os tirou daria um resultado diferente, embora para cada número real positivo haja um número real negativo correspondente.
Resposta
Vamos resolvê-lo usando a teoria dos grupos.
Seja G (\ mathbb {R}, +) um grupo.
Possui identidade aditiva , ou seja, 0 e o inverso aditivo \ forall a \ em G, é -a.
Agora adicionando todos os elementos deste grupo, temos pares de um número e é inverso cancelando um ao outro.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, podemos escrever isso por causa da propriedade comutativa e associativa deste grupo especial.
Dividimos o conjunto \ mathbb {R} em \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} e elemento de identidade.
Vamos escrever a expressão acima como
= X + Y + 0
Como 0 é a identidade, portanto,
a expressão acima dá
= X + Y
Agora, \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implica X = Y ^ {- 1}
\ implica Y = -X
\ implica X + Y = elemento de identidade de G = 0.
Portanto, a soma de todos os números reais é zero.