Melhor resposta
Suponha que haja um círculo com cinco pontos equidistantes A, B, C, D e E em seu perímetro de modo que o arco ABCDEA complete o círculo.
Portanto, há cinco arcos iguais (AB, BC, CD, DE e EA), cada uma subtendendo um ângulo {(360⁰) / 5) = 72⁰ no centro.
Agora, o ângulo da estrela no vértice A nada mais é do que o ângulo subtendido pelo arco CD no ponto A; que é {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Portanto, a soma dos ângulos de cinco estrelas em cinco vértices = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Resposta
Este problema depende de como você define uma “estrela”. Mas de qualquer forma, vamos começar com casos simples, então a fórmula geral deve se mostrar.
Se houver 3 pontos, só podemos ter um triângulo equilátero, então o ângulo é de 60 graus. (Incluo isso também como estrela, defina minha estrela mais tarde).
Se houver 4 pontas, só podemos ter um quadrado, então o ângulo é de 90 graus.
Se houver 5 pontos , podemos ter um pentágono, onde o ângulo é de 108 graus; ou podemos ter uma “estrela” na questão, onde o ângulo é de 36 graus.
Em geral, para n pontos, podemos dividir um círculo em n seções de arco iguais. Para casos de 3 e 4 pontos, a única maneira de desenhar um “circuito fechado simétrico perfeito” (a definição da estrela) é conectando pontos a seus pontos adjacentes, nesse caso, digamos seus passos (número de seções cruzadas de arco em uma seção reta) k são 1. Duas linhas contínuas formarão um ângulo, então a fórmula deste tipo de “estrela” (triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, etc) é 180 * (n-2 * 1) / n graus.
Em 3, 4 ponto ca se, não há outra solução além da etapa 1. No caso de 5 pontos, além da etapa 1, uma etapa 2 formará a estrela de 36 graus. Então, quando a etapa k é relativa aos pontos n, podemos ter a fórmula do ângulo
180 * (n-2 * k) / n graus.
Então, em 6 pontos , a única solução é k = 1, então o ângulo é 120 graus.
No caso de 7 pontos, k pode ser 1, 2 ou 3, quando k = 1 o ângulo é 900/7 graus; quando k = 2, o ângulo é de 540/7 graus; quando k = 3, o ângulo é de 180/7 graus.
No caso de 8 pontos, k pode ser 1 ou 3, quando k = 1 o ângulo é 135 graus; quando k = 3, o ângulo é de 45 graus.