Melhor resposta
Simples…. 🙂
Frequentemente usamos isso como um resultado direto.
Resposta
Infelizmente, nem a série de Taylor nem as respostas baseadas em regras de lHopital podem ser qualificadas como provas rigorosas porque introduzem um argumento circular: ambos os métodos requerem o cálculo de uma derivada da função f (x) = \ sin (x), para calcular a qual devemos saber a que o limite em questão é igual. Em outras palavras, ao procurar A, introduzimos B, mas para encontrar B devemos saber o que é A.
Não é tão difícil construir uma prova rigorosa o suficiente que passe como aceitável em um “ Curso de Análise Matemática ”. Aqui está uma versão: no desenho abaixo \ triângulo AOC é um triângulo isósceles contido dentro do setor circular OApC que, por sua vez, está contido dentro do triângulo retângulo OAB. O segmento de linha AB é perpendicular ao raio OA:
De Euclides “s” Elementos “Livro 3 Proposição 16 segue que as áreas quadradas dos objetos acima são classificadas por tamanho da seguinte forma:
A \_ {\ OAC do triângulo} \_ {OApC} \_ {\ OAB do triângulo}
Nessa proposição Euclides (basicamente) prova que é impossível espremer outra linha reta entre AB e a circunferência do círculo q no ponto A de tal forma que essa nova linha reta seja posicionada entre AB e P. Inversamente, isso significa que qualquer linha reta que corta o ângulo reto OAB necessariamente cai dentro do círculo – como o sinal de reta AC faz acima. A seguir, usando as fórmulas para as áreas de um triângulo e de um setor circular e o fato de que o ângulo AOC é medido em radianos, temos :
\ frac {OA \ times CH} {2} frac {\ alpha\_n \ times r ^ 2} {2} frac {OA \ times AB} {2}
r ^ 2 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n \ times r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan (\ alpha\_n)
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n tan (\ alpha\_n)
Observe a desigualdade mais à esquerda:
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n
como iremos usar mais tarde. A seguir, consideramos que 0 alpha\_n frac {\ pi} {2} e isso nos dá o direito de dividir a última desigualdade dupla por \ sin (\ alpha\_n):
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin (\ alpha\_n)} frac {1} {\ cos (\ alpha\_n)}
Visto que \ cos (x) é uma função par e f (x) = x e \ sin (x) são ímpares, os valores recíprocos da desigualdade acima são:
1> \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}> \ cos (\ alpha\_n)
Multiplique o acima por -1 e inverta os sinais de desigualdade:
-1 \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} \ cos (\ alpha\_n)
Adicione 1 ao acima:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – \ cos (\ alpha\_n)
Mas:
1 – \ cos (\ alpha\_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha\_n} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha\_n } {2}) \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
por causa da desigualdade “mais à esquerda” que provamos anteriormente (veja acima). Agora:
1 – \ cos (\ alpha\_n) alpha\_n
e isso significa que:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} alpha\_n
Como assumimos anteriormente que 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}, podemos usar os valores absolutos nas desigualdades acima:
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
que está de acordo com a definição \ epsilon, \ delta de um limite: para qualquer \ epsilon> 0 escolhemos \ delta = min (\ epsilon, \ frac {\ pi} {2}) :
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n – 0 | delta
Agora, se estivéssemos estudando não uma variante “contínua”, mas uma sequência discreta, definiríamos \ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} e teríamos:
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
de onde:
n> \ frac {\ pi} {2 \ epsilon}
e finalmente:
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existe N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad: \ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – 1 | epsilon
Em qualquer dos casos, significa que:
\ lim\_ {x \ a 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1
Observe que, como um bônus adicional nesta linha de raciocínio, provamos automaticamente que:
\ lim\_ {x \ a 0} \ cos (x) = 1
E de a desigualdade deduzida anteriormente \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n segue que assim que | \ alpha\_n – 0 | delta temos | \ sin (\ alpha\_n) – 0 | epsilon o que significa que:
\ lim\_ {x \ a 0} \ sin (x) = 0
De onde segue imediatamente que podemos calcular o seguinte limite:
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan (x) = 0
(deixado como um exercício para o leitor), etc.
Para comemorar nosso vitória, vamos calcular o seguinte limite que tem tudo a ver com a expressão de trabalho desta questão:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos ( \ frac {\ phi} {2 ^ k})
onde \ phi é um número arbitrário diferente de zero (real).Escreva os primeiros termos do produto:
\ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac { \ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
Comece com a identidade de meio ângulo:
\ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2})
Aplique novamente em \ sin (\ frac {\ phi} {2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2})
E novamente – para \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3})
E assim por diante. Vemos que após n dessas substituições teremos:
\ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
De onde se segue que nosso produto extenso de cossenos pode ser representado como:
\ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})}
Mas já sabemos qual é o limite acima, e portanto:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi}