Melhor resposta
2 ^ 30 * 3 ^ 20
= (2 ^ 3) ^ 10 * (3 ^ 2) ^ 10
= 8 ^ 10 * 9 ^ 10
= (8 * 9) ^ 10
= 72 ^ 10
desde 72 mod 7 = 2,
72 ^ 10 mod 7
= (2 ^ 10) mod 7
= 1024 mod 7
= 2
Resposta
Você poderia simplesmente ligar um computador e perguntar, e eu tenho 1091132094649, mas você deve querer dizer como isso pode ser feito com um mínimo de lápis e papelada, ou como um problema muito maior pode ser feito em um computador sem o uso extravagante de ciclos de CPU.
Você provavelmente deseja o teorema do resto chinês para isso. 20 = 2 ^ 2 * 5, então 20 ^ 10 = 2 ^ 20 * 5 ^ 10.
Então, o que é 3 ^ 30 mod 5 ^ 10? Trabalhe na aritmética de base 5. 3 ^ 3 = 102, 3 ^ 6 = 102 * 102 = 10404, 3 ^ 12 = 114001231, agora multiplique por 3 ^ 3 = 102, mas DESCARTANDO todos os dígitos além da 10ª potência de 5: 12133131112 corta para 2133131112. Finalmente eleve o quadrado fora, descartando tudo acima da 10ª potência de 5 conforme você avança: 4304012044. Base 10, para voltar ao gramado familiar, este é 9047774.
Agora você vai querer 3 ^ 30 mod 2 ^ 20. Mesmo exercício, mas desta vez você está trabalhando em binário. Você acaba aprendendo que é 686265 mod 2 ^ 20.
Agora é a hora do Teorema do Remanescente Chinês. Isso diz que dados dois módulos relativamente primos, aqui 2 ^ 20 e 5 ^ 10, e condições de congruência mod cada, aqui que a resposta é 9047774 mod o primeiro e 686265 mod o outro, há um n único entre 0 e o produto de seus módulos, menos 1. E você descobre através da ideia de que se n = a mod p e b mod q, então n = a + pk então (a + pk) = b mod q. então pk = (b-a) mod q, então k = (inverso de p) * (b-a) mod q. E o inverso de p mod q é encontrado com o algoritmo Euclidiano estendido. (Você extrai o mdc de p e q, sabendo muito bem que será 1 no final, mas mantendo o controle do que você aprende sobre s * p + t * q = cada vez menor, conforme você avança, até obter s * p + t * q = 1 e então s é o inverso de p mod q.)