Melhor resposta
Você sempre pode tentar calcular alguns expoentes menores e encontrar um padrão de repetição para os restantes . Vamos calcular o resto de 2 ^ n dividido por 18, começando com n = 1:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, o resto é 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, o resto é 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, o resto é 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 , o resto é 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, o resto é 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, o resto é 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, o resto é 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, o resto é 4;
- \ cdots \ cdots
Na verdade, quando os expoentes ficam maiores, você não precisa calcular as potências reais de 2; em vez disso, você apenas multiplica o resto anterior por 2 e, a seguir, encontra o novo resto desse resultado. É claro que os restantes se repetem a cada 6 números. Assim, para o expoente 200, apenas descobrimos o resto quando 200 é dividido por 6, que é 2. Portanto, o resto quando 2 ^ {200} é dividido por 18 é o mesmo que o resto para 2 ^ 2, que é igual 4.
Resposta
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}
\ implica 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ implica (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {Portanto, 4 é o resto quando} \, 2 ^ {200} \, \ text {é dividido por 18}