Melhor resposta
T\_n (x), o enésimo polinômio de Chebyshev do primeiro tipo, satisfaz
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Estamos depois de T\_ {10} (x). Conhecemos os primeiros:
T\_0 (x) = 1 \ quad porque \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad porque \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad porque \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad porque \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Podemos calcular as potências de dois facilmente,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Em geral T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) que segue muito rapidamente de \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
O T\_n (x) satisfaz a recorrência
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Já que T\_0 (x) e T\_1 (x) têm coeficientes inteiros, a recorrência nos diz que todos os T\_n (x) têm coeficientes inteiros.
Vamos derivar a recorrência . Começamos provando uma identidade trigonométrica, uma fórmula de ângulo de soma alternada que usa apenas cosseno:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Agora,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
ou deixando x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Agora podemos calcular T\_ {10} (x) facilmente,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Então, finalmente obtemos nossa resposta,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Resposta
Deixe x = theta para facilitar a minha digitação.
Lembre-se de que a multiplicação é repetida d adição.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Uma maneira de encontrar cos (10x) é aplicar o identidade para o cosseno da soma de dois ângulos 9 vezes, junto com a identidade semelhante para o seno.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sen (9x) sen ( x)
Agora substitua o 9x por 8x + x
e, em seguida, aplique cuidadosamente as identidades novamente sem perder os cos (x) e sin (x) que já estão no problema.
Em seguida, em todos os lugares que vir 8x, substitua-o por 7x + x e aplique as identidades novamente.
Continue …
Você pode querer trabalhar para cima em vez de para baixo.
Encontre cos (3x), depois cos (4x) etc.
Enquanto você trabalha, pergunte-se se existe uma maneira mais rápida.
Assim que tivermos uma fórmula para
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
você pode tentar pensar
em cos (4x) como cos (2x + 2x)
e cos (8x ) como cos (4x + 4x).
Depois, cos (10x) como cos (8x) + cos (2x).
Você pode Também quero simplificar o resultado para cos (2x) e, possivelmente, usar uma identidade pitagórica para manter o problema em termos de apenas cosseno sem quaisquer senos no resultado.