Melhor resposta
Eu sei o que você está pedindo, mas por favor, aprenda as convenções de redação. Deve ser escrito como cos (1/2).
Para responder sua pergunta, você terá que usar uma calculadora aqui. Não há como calcular isso manualmente. Outra coisa é o valor em radianos ou graus. Vou dar os dois aqui. É 0,99996 em graus e 0,8775 em radianos.
Resposta
Muitas pessoas ficam chateadas quando alguém afirma que 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Não sou uma dessas pessoas, mas acho que, se você começar a fazer uma afirmação como esta, deve ter muito claro o que é que você quer dizer.
Normalmente, quando você define uma soma infinita de elementos a\_n, você a define como:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Se o limite existe e tem um valor finito, dizemos que a soma infinita converge , e dizemos que é igual ao referido limite. Assim, por exemplo:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Existem, no entanto, muitas somas infinitas que divergem , e normalmente não atribuímos um valor a elas. Um exemplo deste:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {não existe.}
Também se pode verifique se:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
que não converge — portanto, a série 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots é divergente e, portanto, a definição de limite usual não atribui um valor a ele.
No entanto, existem maneiras de você pode estender esta definição. Ou seja, você pode encontrar maneiras de atribuir um valor finito a séries divergentes que ainda concordam com os valores que obtemos da maneira usual para séries convergentes.
O problema é que, como esses métodos, por sua própria natureza não corresponde realmente a nada físico *, então o melhor que podemos esperar é que tais métodos tenham boas propriedades formais. Em particular, gostaríamos de solicitar que eles satisfaçam os seguintes axiomas:
1.) (Regularidade) Se \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n for convergente, então o método de soma concorda com o método usual de calcular o limite.
2.) (Linearidade) Se \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A e \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B são somados , então temos \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Se r for um número real, então \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Estabilidade) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Esses axiomas são bastante úteis. Por exemplo, você mostra que qualquer método de soma que satisfaça esses três axiomas deve avaliar 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, uma vez que:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Observe que tanto a linearidade quanto a estabilidade desempenham um papel importante nesta prova. A estabilidade nos permite “puxar” o 1 na frente e a linearidade nos permite fatorar o 2.
Qualquer método de soma também deve avaliar 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2 A prova é semelhante:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
No entanto, haverá séries divergentes que não podem ser avaliadas por nenhum método de soma que satisfaça esses três axiomas. Por exemplo, suponha que possamos atribuir um valor finito s à série 1 + 1 + 1 + \ ldots. Então teríamos:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Ops. Infelizmente fica ainda pior, porque decorre disso que nenhum método de soma que satisfaça estes três axiomas pode avaliar 1 + 2 + 3 + \ ldots, uma vez que:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (por estabilidade) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (por linearidade)
Então, se você quiser definir um método de soma que avalie 1 + 2 + 3 + \ ldots, você terá que descartar linearidade ou estabilidade. Existem diferentes abordagens — algumas sacrificam uma, outras sacrificam a outra.
Isso é, infelizmente, um indicativo de como a soma de séries divergentes funciona: você tem muitos métodos diferentes de soma-las, e eles não sempre concordo. Eles geralmente concordam com séries importantes, mas se você está afirmando algo como 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, é melhor deixar absolutamente claro qual método de soma está usando.
Como teórico dos números, minha abordagem favorita é a regularização da função zeta. O exemplo básico disso é: considere a função zeta de Riemann \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Esta fórmula é apenas convergente se a parte real de s for maior que 1.No entanto, há uma maneira padrão de estender a função zeta de Riemann para ser uma função em todo o plano complexo (bem, você tem alguns pólos, mas embora isso seja importante, é uma questão técnica) — isso é chamado analítico continuation, que você obtém explicitamente ao encontrar uma equação funcional para a função zeta.
Usando a continuação analítica, você acha que \ zeta (-1) = -1/12. Mas, se você “conectar isso” à sua expressão original da função zeta, obterá:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
É assim que funciona a regularização da função zeta: você associa uma função zeta à sua série e, em seguida, use a continuação analítica para associar um valor finito à série.
Este é, de muitas maneiras, um jogo formal que, embora interessante, provavelmente não deve ser considerado como correspondendo a algo tangível.
* Sim, estou ciente de que séries e integrais divergentes são usadas em cálculos na teoria quântica de campos. No entanto, eu diria que tais métodos são uma ferramenta computacional mais do que uma interpretação física do que está realmente acontecendo. Além disso, não temos, neste ponto, um modelo matematicamente rigoroso da teoria quântica de campos, então qualquer quimera estranha que ainda não deveria ser pode ser reinterpretada ou removida inteiramente.