Melhor resposta
A pergunta que você faz não faz sentido. Estou presumindo que é cos (20 °).
Nós sabemos o que é cos (60 °) e a coisa boa é 60 ° = 3 * 20 °.
Nós sabemos cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Coloque θ = 20 °, na identidade acima e assumindo t = cos (20 °), obtemos
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Seja p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 e p (1) = 1, isso implica que p tem três raízes reais dos quais apenas um é positivo (que fica entre 0 e 1).
Como sabemos, cos (20 °) é um número positivo, então a raiz positiva do polinômio acima é o valor de cos (20 °).
Algumas estimativas usando o método de bissecção com 2–3 iterações resultarão em 0,94.
Então cos (20 °) = 0,94 (aprox)
Resposta
Você deve ser capaz de encontrá-lo usando a identidade trigonométrica: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Presumo que isso seja derivado da identidade: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), mas usado duas vezes. Para ser honesto, acabei de pesquisar. )
Agora que sabemos disso, faça x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Em seguida, faça duas substituições. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} ey = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3a – 4a ^ { 3}
E então com alguma manipulação:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Tudo o que resta é resolver para y. Resolver cúbicas à mão é uma dor , mas vou apontar aqui: Como posso resolver uma equação de terceiro grau? Em seguida, vou acenar um pouco e resolver aqui: Motor de conhecimento computacional
Você tem 3 soluções. Um negativo (incorreto) os outros dois são aproximadamente 0,34 e 0,64.
Qual é? sin (30) = 0,5, e como sabemos que a função seno está aumentando em até 90 graus, a solução é aproximadamente 0,34.
Então, qual é a solução exata? De acordo com o Wolfram Alpha:
Isso deve render um número real, mas não vou simplificar essa bagunça para você .
É suficiente dizer que isso pode ser feito, mas, sem surpresa, é uma grande dor de cabeça.